微分思想在電磁感應中的運用

萬立華

微分思想在高中物理乃至于物理學的發(fā)展中都極其重要，高中生學習微積分的知識盡管不是很多，但是對微分的思想應該還是懂得的，在物理習題中常常遇到多個物理量變化相互聯(lián)系的問題，有時運用此思想解決問題可能達到意想不到的效果。

一、微分思想的滲透

例1：如圖1，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：金屬棒的加速度。

分析：金屬棒的速度和電容器帶電量是變化的，變化的電荷量又和通過金屬棒的電流相關，而電流受到安培力又與加速度有聯(lián)系，所以我們可以取一段微小的時間觀察它，探索其規(guī)律。

設金屬棒的速度大小為v時經(jīng)歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i。金屬棒受到的磁場的作用力方向沿導軌向上，大小為f■=BLi設在時間間隔（t，t+Δt）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，按定義有i=■（注意：在這段微小時間內(nèi)i看做定值）

ΔQ也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+Δt）內(nèi)增加的電荷量。由此得ΔQ=CBLΔv，Δv為金屬棒的速度變化量。

按定義有a=■（注意：在這段微小時間內(nèi)a也看做定值）

金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小為f■=μN

式中，N是金屬棒對于軌道的正壓力的大小，有

N=mgcosθ

金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，設其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ-f■-f■=ma

聯(lián)立⑤到{11}式得

a=■g

求出的結果a與任何微小時間無關系，即可判斷是勻變速直線運動。

二、微分求和

例2：如圖所示，在空中有一水平方向的勻強磁場區(qū)域，區(qū)域的上下邊緣間距為h，磁感應強度為B。有一長度為L、寬度為b（b

分析：進入磁場的過程中，加速度與速度相關，時間又與加速度相關，相互依存，所以取一短微小時間觀察，總時間就是微小時間的求和。

線圈進入磁場過程中，下邊進入磁場時線圈的速率為0，上邊進入磁場時線圈的速率為v■。當其速率為V時，由定義a=■

由牛頓運動定律mg-■=ma

變形，有mgΔt-■V△t=mΔV求和，得mg（∑VΔt）-■（∑Δt）=m（∑ΔV）

所以mgt■-■b=mv■故t■=■+■

三、微分求導

例3：一個質量為m、直徑為D、電阻為R的金屬圓環(huán)，在范圍夠大的磁場中豎直向下落，磁場的分布情況如圖所示。已知磁感應強度豎直方向分量B■的大小只隨高度變化，其隨高度y變化關系為B■=B■·（1+ky）（此處k為比例常數(shù)，且k>0），其中沿圓環(huán)軸線的磁場方向始終豎直向上，金屬圓環(huán)在下落過程中的環(huán)面始終保持水平，速度越來越大，最終穩(wěn)定為某一數(shù)值，稱為收尾速度。求：（1）圓環(huán)中感應電流方向；（2）圓環(huán)收尾速度的大小。

解析：

圖2

（1）根據(jù)楞次定律可知，感應電流的方向為順時針（俯視觀察）。

（2）設圓環(huán)下落穩(wěn)定時的收尾速度為v■，經(jīng)時間t圓環(huán)下落高度y=v■t穿過圓環(huán)的磁通量為Φ=B■S=■d■B■（1+kv■t）產(chǎn)生的感應電動勢為E=■=■。圓環(huán)中感應電流的電功率為P■=■重力做功的功率為P■=mgv■根據(jù)能量關系有p■=P■可得圓環(huán)收尾速度。

總之，在處理物理問題中，不僅要注意“微元”的信息，而且要相應的公式推導。關注題目中的信息，靈活運用微分思想，應該滲透在解決問題的方案中。