例談導數學習中的典型問題及教學對策

黃明英

摘 要： 導數是高中數學中比較重要的一章，它在解決數學有關問題方面起到工具的作用，可以巧妙地解決許多初等數學問題.但同學們對導數基本概念、理論的理解存在著誤區，會出現這樣那樣的錯誤，本文著重探討糾正錯誤的教學方法.

關鍵詞： 導數 單調性和拐點 極值 錯因

我們在用導數研究函數圖像和性質時，常常因為審讀不夠充分，沒有注意到題設隱含條件對值域范圍的限制而導致解答出錯.從避免或減少這類錯誤的角度考慮，本文通過對一道函數題解答中的錯誤展開分析與探究，暴露錯誤的發生過程，挖掘錯誤根源，探討糾正錯誤的教學方法.

一、發現錯誤

二、錯因分析

三、糾錯方法

在教學過程中不難發現，學生的這種錯誤屢見不鮮，那么如何才能讓學生盡量減少或避免在導函數和原函數圖像中出現的類似錯誤？

建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提，利用學習錯誤，引發“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密的再思考.所以在導數的初步應用教學時，教師應緊扣教材，適時為學生創造一個尋找“錯誤”的環境，把很多學生解題時不太注意細節在課堂上暴露出來，讓學生及時意識到錯在何處，錯誤原因及如何改正，把錯誤消滅在萌芽狀態.

如對學生在導函數和原函數圖像中出現錯誤的教學處理，可循序漸進地安排如下題組訓練，暴露學生的解題錯誤.

（1）根據圖示，畫出原函數的大致圖像；

（2）根據所畫的圖像，寫出函數的單調區間及在（-∞，1）上的值域；

（3）判斷函數f（x）=m（m∈R）的零點個數.

問題（1）的設計意圖是在易錯的環節設置“陷阱”，誘使學生陷入歧途，制造思維沖突，暴露學生思維的薄弱環節.讓學生自主思考后，請三名學生上臺板演，學生的典型錯誤是在畫圖像時，只考慮了單調性和拐點，圖像與坐標軸的交點、拐點的高低位置卻大不相同.

學生對自己的解答將信將疑，難得糊涂，給出問題（2），在解答過程中，學生就會發現所畫圖像與坐標軸的交點有誤，拐點的高低也有問題.此時，不用提示，學生自己就發現了問題所在，并糾正了作圖的錯誤.適時地給出問題（2），一下子讓學生的思維從定勢中跳出來，產生了認知沖突.

學生有了回避錯誤的經驗積累和知識建構，在此基礎上給出問題（3）.學生在解答過程中，意識到利用導數畫圖像不但要注意拐點的高低問題，而且要注意到函數在整個定義域內的變化趨勢.此時再引導學生利用極值判斷拐點的高低，注意利用圖形的趨勢將圖形畫得盡量準確，使學生突破眼前的思維障礙，在錯誤中生成正確.對于容易失誤的題型，索性放任學生去錯誤理解，讓他們在出錯后猛醒，這遠比教師反復強調效果要好得多.

復合函數與三次函數的變化趨勢不盡相同，在幫助學生明“錯”知‘理”后，教師還要善于將問題進行變式，做好解題的分析和解題過程示范，讓學生更全面、更深刻地理解問題的實質，避免錯誤“重犯”，做到“深入淺出”.

分析：該題是函數綜合題，通過導數討論函數的單調性與極值，再利用奇偶性和數形結合求解，在作圖過程中引導學生利用極值判斷拐點的高低，必須考慮當x>2時，f（x）恒大于0且x趨向+∞時，f（x）趨向0，力求作圖的嚴謹性.

這種教學處理方式，讓學生經歷了一個由出錯、辯錯到糾錯，再到突破、提升的思辨過程，不但加深了對利用導數研究函數性質的知識理解，而且免受了思維定勢的干擾，他們的糾錯能力在這一過程中得到了提高.

學生解題錯誤的原因是多種多樣的，教師要正視學生的錯誤，挖掘錯誤根源，巧妙設置問題，將糾正學生錯誤看做自己教學的一部分，針對不同的學生、不同的錯誤、選擇合適的教學策略，提高學生的數學思維品質及糾錯能力，最終讓錯誤成為數學課堂教學的亮點.