逆向思維與數學解題

劉丹丹

摘 要： 數學解題的過程即思維的過程，而逆向思維是數學思維的一個重要組成部分，也是進行思維訓練的載體.逆向思維通常包括逆轉運算、逆轉結構、逆轉主元、逆轉角度等，在數學解題中合理應用逆向思維，往往能夠突破常規的束縛，產生出奇制勝的效果.

關鍵詞： 逆向思維 數學解題 思維

逆向思維是指與常規正向思維方向相反的思維過程，即通常所說的“倒著想”或“反過來想一想”，是一種創造性的思維方式，體現了思維的靈活性、敏捷性.

1.逆轉運算，提高解題技巧

數學中有眾多定理、公式，并且形式多樣，若能對其作恰當的變形或逆用公式等逆轉運算，則不僅有利于深入領會知識，而且能達到解題靈活、迅速，提高解題技巧的目的.

2.逆轉結構，尋找解題方法

數學解題中，有些題目結構甚為復雜，直接求解很難（解題繁瑣、思路難覓、解題很慢），倘若作逆向思考，可運用關系映射和反演對其結構進行逆轉，從問題結構的調整、簡單化中去打開思路，尋找到解決問題的方法，從而使解題過程化繁為簡，化難為易，變慢為快.

3.逆轉主元，探索解題途徑

數學中部分問題構思巧妙，若按常規思路，思考集中在某些顯然的“主元”上，往往陷入僵局.這時不妨調換“主”與“客”的地位，即變“主元”為“客元”，“客元”為“主元”，往往能取得不錯的效果.

4.逆轉角度，另辟解題捷徑

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，說明從不同角度出發，看到的事物就不同.同理，在數學解題中，也不能局限于單方面考慮問題，多方面、多角度分析才能認清問題的本源，開辟新的解題捷徑.尤其是人們思維的習慣大多是正面的、順向的，而部分題目順向難以認清問題的本質，此時不妨逆轉思考的角度，轉換思維的切入點，也許會柳暗花明，收獲意外的驚喜.

例6：整數1，2，…，n的排列滿足：每個數大于它之前的所有的數或者小于它之前的所有的數.試問有多少個這樣的排列？（1989年加拿大競賽題）

對比上述兩種解法，雖順向思維也可解答該題，但轉變分析的角度后，能更清晰地反映問題的本質，即序列長度每增加1排列個數就變為原來的2倍，也充分挖掘了題目中所滲透的遞歸思想，而這恰恰是順向思維缺失的.多角度分析問題，在解題的同時達到鍛煉思維的目的，不僅有利于今后的數學解題，還能培養計算機編程中所需的思維方法.

波利亞說：“解題的成功靠正確的思路選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.”逆向思維與數學解題關系密切，當順向思維面臨困境甚至是絕境時，逆向思維往往出奇制勝，別開生面.正確而巧妙地利用逆向思維，常常使人茅塞頓開，突破思維定勢，探測某些問題的解題方向，找到解題捷徑，使思維進入新的境界.

參考文獻：

[1]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]周春荔.數學思維概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]羅增儒.中學數學競賽的內容與方法[M].南寧：廣西教育出版社，2012.