高等代數(shù)教學(xué)方法探討

繆應(yīng)鐵

摘 要： 作者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，就教學(xué)方法與講課技巧進行探討并談?wù)勼w會，旨在為高等代數(shù)教學(xué)提供新的方法與思路。

關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 代數(shù)思想方法 教學(xué)過程

高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其主要內(nèi)容為代數(shù)的基本知識與基本理論，目的是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力。學(xué)生在數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程中，對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)是比較困難的。其原因一方面在于這門課本身很抽象，另一方面是這門課在大一開設(shè)，而學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維方式還是中學(xué)期間固有的方式，所以面對高等代數(shù)內(nèi)容的高度抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)方法、思維方式上存在諸多不適應(yīng)，因此教學(xué)方法與技巧是很重要的。教師應(yīng)努力鉆研教法，注重數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生盡快適應(yīng)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)他們的抽象思維及邏輯推理能力。

一、介紹代數(shù)學(xué)的基本思想，優(yōu)化教學(xué)效果，達到教學(xué)目的。

在高等代數(shù)教學(xué)中，注重介紹代數(shù)學(xué)的基本思想方法。數(shù)學(xué)方法有技巧性的數(shù)學(xué)方法，有邏輯性的數(shù)學(xué)方法，還有宏觀性的數(shù)學(xué)方法，本文主要討論的是這種宏觀性的方法。這種方法是影響代數(shù)學(xué)發(fā)展的全局性方法，主要包括公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法等，簡單介紹如下：公理化方法：高等代數(shù)從數(shù)、多項式、矩陣、幾何向量、函數(shù)等具體的數(shù)學(xué)對象中，抽象出它們關(guān)于各自加法和數(shù)乘共同滿足的八條運算律，把八條運算律作為公理給出線性空間的定義，從而線性空間這一概念就不是一個任何具體形式的數(shù)學(xué)對象，而是滿足八條公理的抽象的代數(shù)系統(tǒng)，再由線性空間的定義以八條公理為唯一的依據(jù)，推出線性空間的其他性質(zhì)和定理，由于公理系統(tǒng)是一個邏輯演繹系統(tǒng)，因此對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義。線性空間是學(xué)生遇到的第一個公理化的定義，在這之后，高等代數(shù)中的線性變換、歐氏空間、雙線性變換等概念都是用公理化的方法引進的。結(jié)構(gòu)化方法：結(jié)構(gòu)思想方法是在集合論的基礎(chǔ)上從數(shù)學(xué)的整個全局出發(fā)，把數(shù)學(xué)看成一個大系統(tǒng)，在當代數(shù)學(xué)思想理論的指導(dǎo)下，利用現(xiàn)代形式的公理方法，對整個數(shù)學(xué)依其結(jié)構(gòu)的特征做了重新整理，從宏觀上使其系統(tǒng)化和條理化。由此可見，結(jié)構(gòu)思想方法的提出，把公理化方法推向更高的階段，從而為數(shù)學(xué)方法論揭開了新的一頁，高等代數(shù)在線性空間“歐氏空間”等章節(jié)中都用到結(jié)構(gòu)化方法。所謂高等代數(shù)中的結(jié)構(gòu)化方法是，依據(jù)代數(shù)系統(tǒng)的公理、研究系統(tǒng)中元素之間的關(guān)系、系統(tǒng)的生成方法、系統(tǒng)和子系統(tǒng)的關(guān)系、系統(tǒng)的分類等。例如：在線性空間一章中，除了從公理出發(fā)研究加法與數(shù)乘的運算性質(zhì)外，還借助由加法和數(shù)乘兩種運算確定的線性相關(guān)性研究向量之間的關(guān)系，向量組之間的關(guān)系，線性空間的生成，基和維數(shù)；研究子空間及其交、并、和與直和，最后引入同構(gòu)映射，介紹向量空間的比較辦法和按維數(shù)分類辦法。

二、對課程作適當調(diào)整，強化教學(xué)效果。

近世代數(shù)作為高等代數(shù)的后繼課是由歷史演變形成的，不是由課程的難易程度決定的，事實上，高等代數(shù)中許多內(nèi)容并不比近世代數(shù)容易，比如，群、環(huán)、域是抽象的代數(shù)體系，線性空間也是抽象的代數(shù)體系，而且它是特殊的模；從授課內(nèi)容上看，近世代數(shù)只講到一些群、環(huán)、域的基本概念、基本性質(zhì)、子體系、商體系，而高等代數(shù)中講到線性空間時所研究的內(nèi)容深入得多，比如線性空間的分解、線性變換的標準形等理論。而從方法論的角度看，任何數(shù)學(xué)知識中都包含一定的數(shù)學(xué)方法，在獲得知識的同時，必然會接觸數(shù)學(xué)方法。從學(xué)生認識的角度看，認識規(guī)律為從易到難，從簡到繁。綜合上述理由，設(shè)想對高代的課程安排，可進行適當調(diào)整，把近世代數(shù)中講到的基本概念和群、環(huán)、域的基本知識安排在線性空間、線性變換等內(nèi)容的前面，用公理化思想方法進行統(tǒng)一的組織安排，系統(tǒng)地介紹代數(shù)學(xué)的基本思想方法，然后用統(tǒng)一的代數(shù)學(xué)思想方法講授高等代數(shù)中的線性空間等抽象的代數(shù)系統(tǒng)，才能真正理解高等代數(shù)中的線性空間等抽象的內(nèi)容。

三、補充典型例題，提倡一題多解。

基本概念的理解、吃透、基本理論的掌握及應(yīng)用都可通過做題實現(xiàn)。為此，教師可選擇一些有代表性的，典型的綜合試題作為例題介紹給學(xué)生，最好是一題多解。每道數(shù)學(xué)題總含有一些數(shù)學(xué)概念，解題過程就是深入理解有關(guān)基本概念和基本定理，運用一些基本方法，從已知推向未知的過程。因此，講解時應(yīng)注意講清解題的思路、想法、把自己的分析過程也一并講給學(xué)生聽。解題之后，再有意識地對例題進行剖析，如這個題包含哪些概念，運用哪些基本定理或公式，有沒有其他解法，應(yīng)注意哪些問題。這樣做不但能加深對原題的印象，對鞏固概念、定理和基本方法也是很有幫助的。一題多解，還可使學(xué)生從不同角度認識一個問題，對學(xué)生開闊思路，掌握更多解題技巧，逐步提高解題能力等都有好處。這種方式如果在一個單元結(jié)束后進行，則效果更為顯著。

四、教學(xué)中應(yīng)加強代數(shù)思想方法的滲透與培養(yǎng)。

高等代數(shù)內(nèi)容中體現(xiàn)了很多數(shù)學(xué)思想方法。如利用等價關(guān)系進行分類的思想方法，同構(gòu)的觀點和方法，化標準形的方法，構(gòu)造性證明，以及存在性證明的思想方法。這些數(shù)學(xué)思想方法要在教學(xué)中有意識地加以滲透，提醒學(xué)生注意整理、比較，做到潛移默化，使學(xué)生逐步理解這些思想方法并會加以應(yīng)用。如利用等價關(guān)系進行分類的思想方法在高等代數(shù)中反復(fù)出現(xiàn)，矩陣在初等變換下的等價關(guān)系，在合同變化下的合同關(guān)系，在相似變化下的相似關(guān)系都是等價關(guān)系。利用合同關(guān)系還可對復(fù)數(shù)域及實數(shù)域上的二次型進行分類。又如同構(gòu)的觀點和方法，它是代數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。在高等代數(shù)中多次出現(xiàn)，一般數(shù)域p上的n維向量空間v與p同構(gòu)，從而把一般n維向量空間向量間的線性關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為討論p中n維向量的線性關(guān)系。這種抓住特例推廣到一般的方法，以及把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的方法是代數(shù)以致整個數(shù)學(xué)的基本思想和方法之一。數(shù)域p上n維向量空間V的所有線性變換所成集合L（V）與p上全體n階矩陣所成集合M（P）在給定基之下是同構(gòu)的，這樣線性變換與矩陣就可看做是同一事物的兩種表現(xiàn)形式，在相關(guān)的討論中二者可相互替代。

五、充分利用高等代數(shù)的特點，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

傳授知識與培養(yǎng)能力都是教學(xué)的目的。通過高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生如下的能力：計算能力、閱讀教材能力、表達能力及抽象思維與邏輯思維能力。任何課程，都是以知識為載體，能力的獲得與提高都是通過知識的獲得實現(xiàn)的。但知識的傳授并不等同于能力的培養(yǎng)，教師在講課時的示范分析十分重要，如講授定理時，教材上的定理證明不會寫出為什么如此考慮之類的分析，那么教師就應(yīng)有意識地剖析定理的內(nèi)涵及外延。從已知條件、結(jié)論等方面做出具體分析，講清證明思路，思考過程，讓學(xué)生體會證明方法的核心思想，引導(dǎo)學(xué)生得到完整的論述和證明，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。總之，能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的，只有在整個教學(xué)過程中一點一滴，循序漸進，才能水到渠成。

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