函數(shù)三劍客之函數(shù)定義域

張文麗

摘 要： 函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿整個高中數(shù)學的始終，而函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三要素之一，注重定義域?qū)忸}結(jié)果的影響，培養(yǎng)學生良好的解題習慣，提高他們的解題能力.

關(guān)鍵詞： 定義域 值域 奇偶性 函數(shù)最值

函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿整個高中數(shù)學的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三要素之一，若對函數(shù)的定義域沒有特別的說明，則似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會得到錯誤的答案，所以在解函數(shù)題中應向?qū)W生強調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，培養(yǎng)學生良好的解題習慣對提高學生的數(shù)學素養(yǎng)有很大的作用.

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤的.如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為200m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（100-x）米，由題意得：

S=x（100-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（100-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍，也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量取負數(shù)或不小于100的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就表明學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出思維的嚴密性和良好的解題習慣.

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域.如：

例2：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域.

錯解：令t= ，則2x=t +3

∴y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥

故所求的函數(shù)值域是[ ，+∞）.

解析：經(jīng)換元后，應有t≥0，而函數(shù)y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當t=0時，y =1.

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要.若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

三、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題.如果忽視定義域范圍，就會導致最值的錯誤.如：

例3：求函數(shù)y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，

∴當x=1時，y =-2.

若按平時的解題思路，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維定勢的一種表現(xiàn)，也說明學生思維缺乏靈活性.其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax +bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-

（2）當- >q時，y=f（x）在[p，q]上單調(diào)遞減函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）當p≤- ≤q 時，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1

f（5）=5 -2×5-1=14

∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14

∴函數(shù)y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，則能體現(xiàn)出學生思維的靈活性.

四、復合函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行.如：

例4：指出函數(shù)f（x）=log （x -2x）的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

∵x -2x>0

∴x>2或x<0

∴函數(shù)定義域為（-∞，0）∪（2，+∞）.

令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上時，u為減函數(shù)，

在x∈（2，+∞）上時，u為增函數(shù).

又∵f（x）=log u在[2，+∞）是增函數(shù).

∴函數(shù)f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù).

即函數(shù)f（x）=log （x -2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）.

在處理復合函數(shù)單調(diào)性問題時遵循同增異減.如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學生對復合函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學生的思維缺乏深刻性.

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應先考求解該函數(shù)的定義域，判斷該區(qū)間是否關(guān)于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.如：

例5：判斷函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：∵定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標原點不對稱，

∴函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù).

如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性就會得出如下錯誤結(jié)論：

∵f（-x）=（-x） =x =f（x），

∴函數(shù)y=x ，x∈[-1，3]是偶函數(shù).

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，定義域都起了至關(guān)重要的作用，因此重視定義域?qū)忸}結(jié)果有無影響，就能提高學生解題分析能力，有利于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學生數(shù)學素養(yǎng)，進而有利于培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性，真正把數(shù)學應用于生活實際中.

參考文獻：

[1]劉春艷.從學科本質(zhì)出發(fā)培養(yǎng)學生提問能力[J].人民教育，2012（12）：40-41.

[2]莊亞棟主編.高中數(shù)學教與學（99.2、99.6）.揚州：中學數(shù)學教與學編輯部出版，1999.