基于B—凸的新型廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的對偶問題

包福利 于憲偉 張一馳

摘 ? ?要： 基于B-凸性，在定義附加E，F(xiàn)映射條件下得到一類新的廣義凸函數(shù)，稱之為B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù).在廣義B-（E，F(xiàn)）-凸性條件下，研究了一類多目標(biāo)規(guī)劃問題的對偶問題，得到了相關(guān)結(jié)論.

關(guān)鍵詞： B-凸性 ? ?B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù) ? ?多目標(biāo)規(guī)劃 ? ?對偶問題

數(shù)學(xué)規(guī)劃問題在工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運輸、決策管理、工程計算與最優(yōu)化等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而在實際問題中，衡量一個方案的好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個，就是說問題本身難以用一個指標(biāo)來衡量，衡量的指標(biāo)越多，就越難以找到理想方案.因此，多目標(biāo)規(guī)劃作為新的分支而發(fā)展起來，成為最優(yōu)化理論研究中最關(guān)注的問題之一，其理論成果具有重要的應(yīng)用價值.本文對一類新型廣義B-凸進(jìn)行了研究，對極小化的多目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行了B-（E，F(xiàn)）-凸性假設(shè)，研究其對偶問題的弱對偶和強對偶，得到了重要結(jié)論.

設(shè)R 為n維歐氏空間，向量

X=（x ，x ，…，x ）∈R ，y=（y ，y ，…，y ）∈R ，

定義：x=y？圳x =y （1≤i≤n）

X

x≦y？圳x ≦y （1≤i≤n）

x≤y？圳x ≦y （1≤i≤n）至少存在某個1≤j ≤n，使得x

考慮如下具有不等式約束的極小化多目標(biāo)規(guī)劃問題，記作（MP）：

（MP）minf（x）=[f （x），…，f （x）]

s.t.g （x）≤0（i=1，2，…，m）x∈R

（MP）的可行域記作：X={x∈R |g （x）}≤0，i=1，2，…，m}，f，g 均為X上的可微函數(shù).

1.相關(guān)知識

定義1.1[1] ? ?函數(shù)f：M→R稱為M上的B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，如果存在點到集的映射E，F(xiàn)：M→R ，使得M是（E，F(xiàn)）-凸集，且存在函數(shù)b（x，y，λ）：M×M×[0，1]→R，使得函數(shù)滿足

f（λ +（1-λ） ）≤λb（x，y，λ）f（ ）+（1-λb（x，y，λ））f（ ）

？坌x，y∈M，？坌 ∈E（x），？坌y F（y），λ∈[0，1].

定義1.2[2] ? ?設(shè) ∈X，對任意的j=1，2，…，p，若不存在任意的x∈X，滿足f （x）≥f （ ）或f（x）≥f（ ），則稱 為（MP）的一個有效解（或稱pareto解）.

定理1.1[3] ? ?（Kuhn-Tucher最優(yōu)性必要條件）

設(shè)x 是問題（MP）的有效解，且滿足K-T約束條件，即

（ⅰ） λ ？犖f （x ）+ u ？犖g （x ）=0

（ⅱ） u g （x ）=0

（ⅲ）g （x ）≤0

（ⅳ）λ（λ ，λ ，…，λ ）>0，u=（u ，u ，…，u ）≧0.

引理1.1 ? ?設(shè)f（x）是（E，F(xiàn)）-凸集M上關(guān)于函數(shù)b的連續(xù)可微的B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，存在函數(shù) ：M×M→R ，記 b（x，y，λ）= （x，y），如果對？坌x，y∈M，則有

？犖f（F（y）） （E（x）-F（y））≤ （x，y）[f（E（x）-f（F（y））]

證明：由于f（x）是M上的B-（E，F(xiàn)）-凸數(shù)，因此有

f[λE（x）+（1-λ）F（y）]≤λb（x，y，λ）f（E（x））

+[1-λb（x，y，λ）f（F（y））]

=f（F（y））+λb（x，y，λ）[fE（x）]-f（F（y））]

函數(shù)f（x）連續(xù)可微，由微分中值定理得

f（F（y））+λ（E（x））-F（y）？犖f（F（y））+λθ（E（x））-F（y））））

≤f（F（y））+λb（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

0<θ≤1

所以

（E（x））-F（y））？犖（f（F（y）））+λθ（E（x））-F（y）））≤

b（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

將上式兩邊分別取當(dāng)λ→0時的極限，由引理條件可得

？犖f（F（y）） （E（x））-F（y））≤ （x，y）[f（E（x））-f（F（y））].

2.主要結(jié)論

R.R.Egudo在文獻(xiàn)[4]中闡述了規(guī)劃問題在不變凸函數(shù)情況下的對偶問題，本文給出多目標(biāo)規(guī)劃問題在B-（E，F(xiàn)）凸性限制下的對偶模型，研究得到對偶問題的弱對偶和強對偶結(jié)果.

我們記下面的問題（MPD）為（MP）的對偶問題：

Maxf（u）+β g（u）e

（MPD）

s.t.？犖α f（u）+？犖β g（u）=0α>0β≥0α e=1

定理2.1 ? ?（弱對偶）：設(shè)為多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）的可行域，令（u，α，β）為對偶問題（MPD）的可行解，使得α f+β g為定義域上的B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，若對于多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）與對偶問題（MPD）的任意可行解與（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E（u）∪F（u），那么則有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

證明：因為α f+β g為B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，且對于多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）與對偶問題（MPD）的任意可行解x與（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），U∈E（u）∪F（u），故由引理1，有

（x，u）[（α f（x）+β g（x））-（α f（u））+β g（u）]

≥（x-u）？犖（α f（u）+β g（u））（2.1）

由于（u，α，β）為對偶問題（MPD）的可行解，因此有（x-u）（？犖α f（u）+？犖β g（u））=0

而x為多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）的可行解，故有

β g（x）≤0

因此式（2.1）可表示為

[α f（x）-（α f（u）+β g（u））]≥0

又 （x，u）≥0

所以有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

定理2.2（強對偶）：設(shè)x 為多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）的有效解，且滿足K—T約束品性，那么存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）為對偶問題（MPD）的可行解，且有β ?g（x ）=0，如果對于對偶問題（MPD）的任意可行解（u，α ，β ），α f+β g為定義域X上的B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，若對于多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）與對偶問題（MPD）的任意可行解x與（u，α ，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E∪F（u），那么（x ，α ，β ）為（MPD）的有效解.

證明：x 為多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）的有效解，且滿足K-T約束品性，則存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）為（MPD）的可行解，且有β g（x ）=0，所以多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）與對偶問題（MPD）的目標(biāo)函數(shù)值相等.

對于？坌x∈X及（MPD）的任意可行解（u，α ，β），α f+β g為可行域X上的B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，那么存在函數(shù) （x，u），有

α f（x）+β g（x）≥α f（u）+β g（u）+

（x，u）？犖 （α f（u）+β g（u））？搖？搖（2.2）

=α f（u）+β g（u）

（2.2）式中，因為？犖 （α f（u）+β g（u））=0，

β≥0，g（x）≤0，所以有β g（x）≤0，因此對于對偶問題（MPD）的任一可行解（u，α ，β），有

α f（x）≥α f（u）+β g（u）？搖？搖（2.3）

由假設(shè)x 與（x ，α ，β ）分別為（MP）與（MDP）的有效解，由式（2.3）可得

α f（u）+β g（u））≤α f（ ）

因為α >0，根據(jù)文獻(xiàn)[5]中相關(guān)結(jié)論，得到（x ，α ，β ）為多目標(biāo)規(guī)劃對偶問題（MPD）的有效解.

參考文獻(xiàn)

[1]包福利，于憲偉.B-（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)及其性質(zhì)[J].遼寧師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，03：4-7+10.

[2]魏權(quán)齡，王日爽，徐兵.數(shù)學(xué)規(guī)劃引論.北京航空航天大學(xué)出版社，1991.

[3]林銼云，董加禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論.北京：高等教育出版社，1992.

[4]R.R.Egudo， M.A. Hanson.Multiobjective Duality with Invexity.Journal of Mathematical Analysis and Application，126（1987）：469-477.

[5]A.M.Geoffrion.Proper efficiency and the theory of vector maximization.Journal of Mathematical Analysis and Application， 22（1968）：613-630.

[6]包福利，佟禺明，王鵬.一類廣義B-（E，F(xiàn)）-凸規(guī)劃問題及最優(yōu)性條件[J].遼寧師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，04：1-3+44.

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)校科學(xué)研究項目（NO：NJZC13406）.