中考中“數形結合思想”的應用

楊勇

讓我們先來看一個數學問題及其解答：

甲是乙現在的年齡時，乙10歲；乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么（）.

A.甲比乙大5歲

B.甲比乙大10歲

C.乙比甲大10歲

D.乙比甲大5歲

解：不妨設甲、乙二人現在的年齡分別是x歲、），歲，顯然，由題意可知x>y，我們可把甲、乙二人年齡及其轉換關系，用數軸上的點表示（如圖1）.

因為甲、乙二人的“年齡差”是個定值，由題意，結合數軸的圖形表示，可得：

①+②，整理，得3（x-y）=15.

則x-y=5.即甲比乙大5歲.故應選A.

在上述的解答中，通過借助數軸，清晰地把甲、乙二人的年齡及其數量轉換關系呈現出來，迅捷地列出方程組使問題獲解，這種解決問題的思想便是我們常說的“數形結合思想”，

數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決，或利用數量關系研究幾何圖形的性質，解決幾何問題的一種數學思想，

一、“以形助數”，即將數量關系借助于圖形及其性質使之直觀化、形象化，從而獲得解題方法

例1 某公司員工分別住在A、B、C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人.三個區順次在同一條直線上，且A、B兩區相距100 m，B、C兩區相距200 m，該公司的接送車打算在此間只設一個停靠點，為使所有員工步行到停靠點的路程之和最小，那么停靠點的位置應設在（）.

A.A區

B.B區

C.C區

D.A、B兩區之間

分析：根據題意“A、B、C三區順次在一條直線上”，我們可用一條直線展現三個區的位置及其距離（如圖2）.

假設停靠點設在A區，則所有員工所走總路程為15×lOO+lOx300=4 500 （m）；若設在B區，則總路程為30xlOO+lOx200=5000 （m）；若設在C區，則總路程為30x300+15x200=12000 （m）；若設在A、B兩區之間，不妨設在D處，則所走總路程為30.AD+15（100-AD）+10（300-AD）=（4500+5AD）（m）.

通過比較可知，停靠點設在A區，可使所有員工所走總路程最小，故應選A.

例2一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100km的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100 km/h和20km/h.巡邏艇不停地往返于A、B兩港口巡邏（巡邏艇調頭的時間忽略不計）.

（1）貨輪從A港口出發以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？

（2）出發多長時間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時離A港口多少千米？

分析：（l）由題設條件可知，巡邏艇l小時可以往返于A、B兩港，而貨輪需5小時才能從A港到達B港.我們可借助“平面直角坐標系”來表示題設數量及其運動圖象（如圖3）.

這樣，問題便轉換為判斷巡邏艇與貨輪運動圖象的交點問題，顯然，由圖象可知，貨輪從A港口出發后直到B港口與巡邏艇一共相遇4次.

（2）設OC所在直線解析式為y=mx.由圖象可知C坐標為（5，100）. 則5m=100.解之，得m=20. 故直線OC的解析式為y=20x.① 設DE所在直線的解析式為y=kx+b. 直線y=kx+b過點E（3，100），D（4，0），則有：

解之，得k=-100，b=400. 故直線DE的解析式為y=-lOOx+400. ② 聯立①、②，得

解這個方程組，得.

即交點F的坐標為 ，可見，在貨輪出發小時后巡邏艇與貨輪第三次相遇.這時離A港口 km.

二、“以數解形”，即將幾何圖形問題數量化表達描述，借助代數運算獲得解題路徑

例3 如圖4，在邊長為4的正方形內部，以各邊為直徑分別畫出4個半圓，則圖中陰影部分的面積是（）.

A.3

B.4

C.5

D.6.

分析：已知圖形是對稱圖形，正方形內的圖形可分為兩種類型，其面積可分別用x、y表示（如圖4）.由圖知，4x+4y=16.即x+y=4，所以S陰影=x+y=4.故應選B.