中考中“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用

楊勇

讓我們先來(lái)看一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答：

甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么（）.

A.甲比乙大5歲

B.甲比乙大10歲

C.乙比甲大10歲

D.乙比甲大5歲

解：不妨設(shè)甲、乙二人現(xiàn)在的年齡分別是x歲、），歲，顯然，由題意可知x>y，我們可把甲、乙二人年齡及其轉(zhuǎn)換關(guān)系，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示（如圖1）.

因?yàn)榧住⒁叶说摹澳挲g差”是個(gè)定值，由題意，結(jié)合數(shù)軸的圖形表示，可得：

①+②，整理，得3（x-y）=15.

則x-y=5.即甲比乙大5歲.故應(yīng)選A.

在上述的解答中，通過(guò)借助數(shù)軸，清晰地把甲、乙二人的年齡及其數(shù)量轉(zhuǎn)換關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，迅捷地列出方程組使問(wèn)題獲解，這種解決問(wèn)題的思想便是我們常說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合思想”，

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決，或利用數(shù)量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，

一、“以形助數(shù)”，即將數(shù)量關(guān)系借助于圖形及其性質(zhì)使之直觀化、形象化，從而獲得解題方法

例1 某公司員工分別住在A、B、C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人.三個(gè)區(qū)順次在同一條直線上，且A、B兩區(qū)相距100 m，B、C兩區(qū)相距200 m，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有員工步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）.

A.A區(qū)

B.B區(qū)

C.C區(qū)

D.A、B兩區(qū)之間

分析：根據(jù)題意“A、B、C三區(qū)順次在一條直線上”，我們可用一條直線展現(xiàn)三個(gè)區(qū)的位置及其距離（如圖2）.

假設(shè)停靠點(diǎn)設(shè)在A區(qū)，則所有員工所走總路程為15×lOO+lOx300=4 500 （m）；若設(shè)在B區(qū)，則總路程為30xlOO+lOx200=5000 （m）；若設(shè)在C區(qū)，則總路程為30x300+15x200=12000 （m）；若設(shè)在A、B兩區(qū)之間，不妨設(shè)在D處，則所走總路程為30.AD+15（100-AD）+10（300-AD）=（4500+5AD）（m）.

通過(guò)比較可知，停靠點(diǎn)設(shè)在A區(qū)，可使所有員工所走總路程最小，故應(yīng)選A.

例2一巡邏艇和一貨輪同時(shí)從A港口前往相距100km的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100 km/h和20km/h.巡邏艇不停地往返于A、B兩港口巡邏（巡邏艇調(diào)頭的時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）貨輪從A港口出發(fā)以后直到B港口與巡邏艇一共相遇了幾次？

（2）出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時(shí)離A港口多少千米？

分析：（l）由題設(shè)條件可知，巡邏艇l小時(shí)可以往返于A、B兩港，而貨輪需5小時(shí)才能從A港到達(dá)B港.我們可借助“平面直角坐標(biāo)系”來(lái)表示題設(shè)數(shù)量及其運(yùn)動(dòng)圖象（如圖3）.

這樣，問(wèn)題便轉(zhuǎn)換為判斷巡邏艇與貨輪運(yùn)動(dòng)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，顯然，由圖象可知，貨輪從A港口出發(fā)后直到B港口與巡邏艇一共相遇4次.

（2）設(shè)OC所在直線解析式為y=mx.由圖象可知C坐標(biāo)為（5，100）. 則5m=100.解之，得m=20. 故直線OC的解析式為y=20x.① 設(shè)DE所在直線的解析式為y=kx+b. 直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)E（3，100），D（4，0），則有：

解之，得k=-100，b=400. 故直線DE的解析式為y=-lOOx+400. ② 聯(lián)立①、②，得

解這個(gè)方程組，得.

即交點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，可見(jiàn)，在貨輪出發(fā)小時(shí)后巡邏艇與貨輪第三次相遇.這時(shí)離A港口 km.

二、“以數(shù)解形”，即將幾何圖形問(wèn)題數(shù)量化表達(dá)描述，借助代數(shù)運(yùn)算獲得解題路徑

例3 如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑分別畫出4個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是（）.

A.3

B.4

C.5

D.6.

分析：已知圖形是對(duì)稱圖形，正方形內(nèi)的圖形可分為兩種類型，其面積可分別用x、y表示（如圖4）.由圖知，4x+4y=16.即x+y=4，所以S陰影=x+y=4.故應(yīng)選B.