對均值法與導數(shù)法的比較研究

王杏 周仁國 翁小勇

摘 要： 立體幾何中最值問題可通過引入幾何變量，建立變量間的函數(shù)關系，再有效利用均值不等式解決問題，也可采用化歸的思想方法，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題。本文擬通過一道立體幾何的最值問題，探討用均值法與導數(shù)法解決此類問題的優(yōu)缺點。通過比較發(fā)現(xiàn)，導數(shù)法是解決立體幾何最值問題較快捷、有效又易理解的一種方法。

關鍵詞： 定義法 均值不等式 求導法 立體幾何

1.引言

求解最值問題通常在函數(shù)中出現(xiàn)，常用方法有均值法、導數(shù)法、函數(shù)單調性等。對此，許多專家學者已研究得十分成熟，而對立體幾何的研究并不多見。因此，通過對立體幾何的最值問題，通過對比均值法和導數(shù)法發(fā)現(xiàn)導數(shù)法是較快速、簡捷、有效的方法。

2.均值法與導數(shù)法的比較研究

案例：現(xiàn)有一矩形鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，將其從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，然后將余下部分折疊為一個無蓋鐵盒，問x為何值時鐵盒的容積最大，并求出最大容積。

分析：對于立體幾何問題求最值，可由已知條件選取恰當變量建立函數(shù)關系，將生活中的立體幾何問題轉化為對函數(shù)最值的研究，體現(xiàn)等價轉化的數(shù)學思想。

（均值法）本例可根據(jù)已知條件建立的函數(shù)關系式，根據(jù)使用均值不等式的條件，引入待定系數(shù)a、b，消掉x，從而使問題獲解。

依題意，設鐵盒高為x cm，則底面長為（30-2x）cm，寬為（14-2x）cm。

∴鐵盒容積V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x

顯然：15-x>0，7-x>0，x>0

設V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0），則

根據(jù)“均值”不等式積有最大值，則需滿足“一正二定三相等”的條件，即

-a-b+1=015a-ax=7b-bx=x

解得，a= ，b= ，x=3

從而V= （ - ）（ - ）x≤ （ ）=576（a>0，b>0）

當且僅當x=3時，V（x）取得最大值576cm （注：此例可設V（x）= （15a-ax）（7-x）bx，V（x）= （15-x）（7a-ax）bx（a>0，b>0），同理，根據(jù)均值不等式的使用條件“一正二等三相等”列出方程組，解出a、b、x。）

（導數(shù)法）V（x）=4（15-x）（7-x）x=4x -88x +420，0

令V′（x）=12x -176x+420=0

解得x=3或x= >7（不符合題意，舍去）

當x<3時，V′（x）>0，V（x）為增函數(shù)；當x>3時，V′（x）<0，V（x）為減函數(shù)；因此，當x=3時取最大值，即V =4（15-3）（7-3）3=576cm 。

實際上，這是教學中學數(shù)學思想方法之“待定系數(shù)法”時的一道例題，旨在通過均值不等式“一正二定三相等”的使用條件，突出待定系數(shù)法在立體幾何中的應用。但在此解法中，對于學生而言，引入待定系數(shù)，巧妙構建函數(shù)的一次項系數(shù)之和為0是非常困難的。而學生采用導數(shù)法求解問題，反倒使問題更簡便，更容易理解與掌握。

3.結語

通過將立體幾何問題轉化為代數(shù)問題，建立函數(shù)模型，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，找到的極值點，從而判斷該極值點是最大（或小）值，解決問題。由此可見，導數(shù)法不僅可用于函數(shù)中求單調性和最值，在立體幾何中也能發(fā)揮獨樹一幟的作用。

參考文獻：

[1]鄭德琴.淺談待定系數(shù)法在數(shù)學解題中的應用[J].希望月刊，2007（8）.

[2]施建華.高考立體幾何與導數(shù)結合求最值的例題分析[J].考試周刊，2009（12）.