基于材料力學經典教材中應力定義的探討

田燕萍 劉婷婷

摘 要： 本文對當前材料力學經典教材中應力的定義和描述進行了討論，針對其中可能引起的謬誤進行了相應分析，新的定義相對簡潔，克服了原來定義中存在的問題。

關鍵詞： 材料力學 平均應力 極限 應力

應力是材料力學中非常基本和重要的概念[1]。現有的材料力學教材中，對于應力的定義和描述有一些謬誤和含混不清，易讓初學者疑惑甚至理解錯誤。本文將指出其中的問題，并提出一種更合理的定義和描述方式供材料力學教育工作者和學習者參考。

1.材料力學經典教材中對應力的定義

首先以被各大高校廣泛采用的劉鴻文教授的材料力學教材為例[2]，闡述現今普遍采用的定義和描述應力的方式。

首先，為了說明截面上各處材料的受力強度，引入內力集度，即內力集中程度的概念。設在某受力構件的m-m截面上，圍繞一點取微小面積ΔA，該微小面積ΔA上內力的合力為ΔF，則單位面積上內力的平均集度為p = ，也稱為平均應力。當ΔA→0時，極限值p= 是該點處內力的集度，稱為該點的應力。由此得到應力的定義，簡單地理解為面積趨為零的極限，有的教材上還直接寫成p= 。

這些教材指出，按照這里給出的定義，當該微小面積ΔA→0時，ΔA上的內力的極限狀態將是一個力，而不是一個力和一個力偶，即暗示ΔA上的內力對ΔA內任一點的力矩都等于零。

通過理論力學的知識，m-m截面受到空間任意力系的作用，那么圍繞截面上某點的微小面積ΔA上所受的是空間任意力系作用，存在如下幾個問題：

（1）在截面上不同的位置，截面所受力是不一樣的；在截面上不同的面積上，所受力是不一樣的；即使是面積大小相同，但形狀不同的話，所受力也是不一樣的，即力ΔF是不依賴于面積ΔA而存在的。綜上所述，即使該面積小到趨近于零， 也不一定會收斂于同一值。

（2）數學上對極限的定義為：設函數f（x）在點x 的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x |<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式|f（x）-a|<ε，那么常數a就叫做函數f（x）當x趨于x 的極限，記作 f（x）=a。將上述定義對應至材料力學應力定義中，平均應力 應為ΔA的函數，那么在面積ΔA為零的鄰域內應滿足上述極限的定義。材料力學中一條非常重要的假設是材料的連續性假設，那么在面積為零及其無限小的鄰域內，該假設就不再適用，這樣勢必導致材料力學整體理論框架錯誤。

（3）力ΔF是不依賴于面積ΔA存在的，即ΔF不是ΔA的函數，是否還能用一階導數 表示應力？

2.應力定義的完善

上述問題的存在，導致在課堂中教師講解不清楚，學生也很疑惑。為了克服上述問題，本文對應力的定義作了如下修改：

首先，從軸向拉壓桿的變形出發引入，通過觀察和實驗可以知道，桿的橫截面上每一點內力的強弱程度是一樣的，這樣可以引入內力平均集度，即平均應力的概念，同樣為p = 。在其他桿件中，如彎曲變形桿中，橫截面上的不同點也有內力強弱程度之分，但每一點的強弱程度又不一樣，因此提出一種類似于軸向拉壓桿的平均應力的定義，把某一點附近一“小面積”上的內力的平均定義為平均應力。對于應力，還是采用經典教材中的極限定義，但是做出如下修改：

當ΔA→ε時，極限值p= 是某點處內力的集度，稱為該點的應力，而ε約為100倍原子尺度 。

這樣既沿用了原來的極限定義，又回避了與連續性假相沖突的問題，還應用了統計學的知識，這里ΔA為該點附近一有限面積，不再是趨于零的一個數，在這個面積內，不管所取的面積形狀如何，經過統計，該點應力的值都趨于一常數，當然導數表示法 存在的問題不會出現。

3.結語

本文對材料力學經典教材中應力的定義進行了改進，避免了原來定義中的混淆不清和謬誤。新的定應義既沿用了原來定義中極限的采用，又克服了原來定義中的問題，簡單并且易于理解。

參考文獻：

[1]S.鐵摩辛柯，J.蓋爾.材料力學.科學出版社，1978.

[2]劉鴻文.材料力學（第5版）.高等教育出版社，2011.

[3]馮元楨.連續介質力學導論.科學出版社，1984.