高中數學課堂中的“比喻教學”

閆庭羽

摘 要： 高中數學是很多同學的一道坎，由于高中階段的數學概念多數較復雜，學生難以在“枯燥”的數學課堂教學中愉快而高效地接受，這就要求我們老師在課堂上利用自己開闊的知識面為學生鋪設出更多的理解途徑，從而提高教學效率，而恰當的比喻就是一種簡單有效的方法.

關鍵詞： 高中數學課堂 比喻教學 比喻思想

一、圖像變換的比喻

函數的圖像變換是高中階段的重要知識點，有下面一個題目：

例：f（x）=3sin（2x+）通過怎樣的圖像變換可以得到g（x）=sinx.

我們經常見到的題目是由簡單變復雜的函數，而本題考的是一個逆向思維，如果我們正兒八經引經據典，從源頭上講起，既麻煩又不容易聽懂.所以我們可以借助“返程”的思想完成這個題目.

這里是“返程”思想介紹：假如我從家到學校的路線是“先直行100米，右轉后再直行300米，再左轉直行500米”即到學校，那么我們返程的路線應該是剛才的步驟反過來，即“先直行500米，右轉后再直行300米，再左轉100米”即返回到家.整個返程過程中，我們只需把所有步驟顛倒過來，左右適當對調即可.

這樣的思想在該題目中也可以得到形象運用：要得到f（x）=3sin（2x+），需將g（x）=sinx橫坐標縮短為以前的，再向左移動，縱坐標伸長到以前的3倍.若是反過來問，易得需將f（x）=3sin（2x+）“先是縱坐標縮短為以前的，再向右移動，橫坐標伸長為以前的2倍”即可得到g（x）=sinx.在這個過程中，只需要記住方向左右的對調，伸縮的互換即可.

這樣的“逆流而上，順藤摸瓜”的思想既簡單又高效，借助到“返程”思想的比喻，非常生動自然，易于接受.

二、數學歸納法的比喻

高中階段利用（第一）數學歸納法證明一個與自然數n有關的命題P（n），有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值n時命題成立.這里n對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

（2）假設當n=k（k≥n，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

綜合（1）（2），對一切自然數n（n≥n），命題P（n）都成立.

大家應該都見過多米諾骨牌，多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方體骨牌.玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次倒下.多米諾是一種游戲，多米諾是一種運動，多米諾還是一種文化.這種運動中蘊含了經典的數學歸納法思想，多米諾骨牌成功進行有兩個條件：1.第一塊倒下；2.每塊骨牌的倒下都能導致下一個骨牌的倒下.

這里我們很容易發現，多米諾骨牌的游戲規律在數學歸納法的證明過程的嚴格呈現，“第一塊骨牌的倒下”與“證明當n取第一個值n時命題成立”有嚴格的對應關系，同樣“每塊骨牌的倒下都能導致下一個骨牌的倒下”也正好映射到“假設當n=k（k≥n，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立”，而且還說明了數學歸納法的兩個不可缺的條件.如果第一塊骨牌我們不推它倒下，后面的骨牌也就不會倒下的，說明不驗證初值的成立，

即便是具有了遞推的條件也不能說明命題會成立（即后面的骨牌也就不會倒下）.若有兩塊之間存在一個較大的缺口，推倒了某塊骨牌，后面的骨牌還是不會倒下，同樣說明了如果不存在遞推的關系，就不能得到對初值后的所有自然數n命題都會成立的結論.可見，在假設n=k成立時，證明n=k+1時的命題成立是數學歸納法證明中多么關鍵的一步.

多米諾骨牌效應在數學歸納法的講解中運用應該是再恰當不過了，這樣的課堂會讓學生眼界大開，收獲頗豐.

三、計數原理中乘法原理的比喻

乘法原理中為何要乘，乘的理由是什么？這是引導學生理解這個知識點之前首相要解決的一個重要問題.我們可以假設這樣一個情景：有一個迷宮，有甲和乙兩個正門，A，B，C三個后門，所有正門和后門彼此聯通，參賽者只要從正門進，從后門出即視為完成迷宮游戲，則完成該迷宮游戲有多少種方法？

這個比喻可以借助“游戲”的名義引誘同學們“上鉤”，同學們很容易用樹狀圖的形式得到答案2乘3等于6.從而得到出乘法原理的雛形，為后來的乘法原理公式的介紹鋪平道路.原理的接受自然水到渠成.

四、其他常見知識點的比喻思想的舉例說明

通過以上這些實例我們可以看到利用學生腦海中已有概念框架類比另一種新的概念，對同學們的理解有很好的幫助.除了上述事例，我們還有很多地方可以使用到比喻教學的方法：

1.用“俄羅斯套娃”比喻“復合函數”中內外函數之間的關系.

2.用高中政治中“價格圍繞價值上下波動”比喻“頻率在概率附近上下波動”，體現頻率的隨機性和概率的穩定性.

3.高中數學中“點，線，面的關系”可以用“元素和集合”的關系描述，可以盡量避免學生將線在面上的符號寫錯.

4.用“每支箭只能落在一個靶子上”比喻“函數定義中，每個A集合中元素在B集合中都只能找到唯一確定的元素與之對應”，從而加深對“一對一，多對一”等函數對應形式的理解.

5.用“教室中門的高度對身高的限定”比喻：“恒成立問題”，比如：“班級最高的同學能通過教室的門，其他同學也能通過”可以類比形如“f（x）≤m”恒成立等類似問題.

6.若是？覬可以比喻成“空盒子”，那么“空盒子中裝空盒子”可以比喻成{？覬}，當然{？覬}也就不是空集了.

7.我們為了說明函數的三要素：“定義域，對應法則，值域”中前面兩個要素的決定性，可以將三要素依次比喻成“生產原料，生產工藝，產品”，很容易得出，生產原料和生產工藝若是一樣，產品自然一樣了，所以判斷兩個函數是否為同一函數即用兩個要素即可.

通過以上若干例子的舉例說明，在看似“枯燥無味”的數學課上適當加入形象的比喻，既可以活躍課堂，又可以借助比喻中已有實例的既成概念框架讓一些較復雜的新概念變得簡單易接受，提高教學效率和質量.

參考文獻：

[1]楊濤.概率教學中“錯誤觀念”轉變的實踐研究.中學數學教學參考，2008（8）（上半月）.

[2]黃永輝.淺談高中數學中形象比喻式教學.新課程學習（下），2014（09）.

[3]鄭曉靜.談形象化比喻在高中數學教學中的應用.新課程學習，2014.10.