關(guān)于提高排隊(duì)效率的數(shù)學(xué)分析

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【摘要】 排隊(duì)是社會(huì)不可缺少的規(guī)則，但排隊(duì)往往耽誤人們太多時(shí)間，給人們帶來了不少煩惱，本文就這樣一種社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)分析及建立有關(guān)模型，探究如何使排隊(duì)效率更高，來節(jié)約更多時(shí)間。

【關(guān)鍵詞】 排隊(duì) 隊(duì)列設(shè)計(jì) 效率

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2015）04-091-01

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一、問題提出

現(xiàn)在，我們幾乎去哪里都要排隊(duì)，去游樂園玩游戲設(shè)施、吃飯、看電影等等，排隊(duì)這一項(xiàng)規(guī)則已經(jīng)深入人心，但因?yàn)榕抨?duì)人數(shù)過多，時(shí)間過長(zhǎng)，人們往往選擇放棄，導(dǎo)致顧客的需求沒有滿足。如果節(jié)省了排隊(duì)的大部分時(shí)間，顧客就可以提前辦完事情，可以提前回家做自己想做的事情或者準(zhǔn)備今后的事情，可見，減少排隊(duì)時(shí)間不僅可以使人們有更加充裕的時(shí)間去做別的事情，還可以準(zhǔn)備未來的事情，這使人們一整天做事的效率都提高了不少，所以，減少排隊(duì)時(shí)間刻不容緩。那么，我們?nèi)绾翁岣吲抨?duì)效率，減少排隊(duì)時(shí)間呢？下面就讓我們對(duì)這個(gè)問題開展模型建立。

二、問題分析

排隊(duì)的問題和很多因素有關(guān)，以電影院為例，例如人流速度，服務(wù)速度，人數(shù)，影院設(shè)施，開放窗口個(gè)數(shù)等，依照常識(shí)來講，開放窗口越多，排隊(duì)效率就越高，但是窗口增多，人力物力也隨之增多，所以我們也只能適當(dāng)?shù)乜刂拼翱跀?shù)量，根據(jù)我平時(shí)買電影票的經(jīng)驗(yàn)，平均每人購(gòu)票時(shí)間為1分鐘，但買票時(shí)也難免會(huì)有些人與服務(wù)人員發(fā)生價(jià)錢上的爭(zhēng)執(zhí)，或者因?yàn)槠渌蜓娱L(zhǎng)了時(shí)間，這些人平均10個(gè)人里才會(huì)有一個(gè)，而他們的平均購(gòu)票時(shí)間是4分鐘，但是這些人會(huì)延長(zhǎng)他們所在的一整條隊(duì)列的時(shí)間，導(dǎo)致那一隊(duì)的人比其他隊(duì)列慢，這樣會(huì)有些不公平，所以我們可以重新設(shè)計(jì)隊(duì)列。

三、模型假設(shè)

為了簡(jiǎn)化模型，我們假設(shè)每人購(gòu)票時(shí)間為一分鐘，那些延長(zhǎng)購(gòu)票時(shí)間的人購(gòu)票時(shí)間為4分鐘，其他特別因素均不對(duì)此產(chǎn)生影響。

四、模型建立

現(xiàn)在排隊(duì)模型基本為圖一所示：

其中“入1-入5”為人流，1、2、3、4、5為服務(wù)窗口，假設(shè)一般顧客為P1，耗時(shí)購(gòu)票顧客為P2，假設(shè)5個(gè)窗口各有10人

假設(shè)1：P2在每隊(duì)有且只有一人，則全部人購(gòu)票完畢時(shí)間為4+9=13分鐘，這時(shí)排隊(duì)效率達(dá)到最理想。

假設(shè)2：P2在其中一隊(duì)有2人，其余隊(duì)P2隨機(jī)分布且單隊(duì)不超過兩人，則這50個(gè)人全部買完票需4+4+8=16分鐘。

假設(shè)三：其中一隊(duì)P2有三人，其余隊(duì)P2隨機(jī)分布，則這50人買完票所需時(shí)間為4+4+4+7=19分鐘。

以此類推，排隊(duì)效率最低的為25分鐘，這樣對(duì)P2最多的隊(duì)列，第一個(gè)P2以后的人都不公平。所以，我根據(jù)排隊(duì)論，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的隊(duì)列模型，如圖二：

這樣，所有人都排成一隊(duì)，P1、P2都包括在內(nèi)，當(dāng)其中一窗口服務(wù)完畢，下一個(gè)排隊(duì)的人立即上前買票，這樣可以保證每一窗口都在服務(wù)，大大提高了效率。

假設(shè)1：最后的P2與最后幾個(gè)P1同時(shí)買完票或所有P2在所有P1買完票之前買完，則時(shí)間與之前假設(shè)1所需的一樣，為13分鐘，這樣依然為最理想。

假設(shè)2：最后一個(gè)P2買票時(shí)后面無人排隊(duì)，即最后一個(gè)P2為這50人中最后一批入場(chǎng)買票時(shí)，排隊(duì)時(shí)間最不理想，時(shí)間要在最理想的基礎(chǔ)上再加上3分鐘，即為16分鐘。

圖二所示的隊(duì)列，所需所有可能的時(shí)間為13、14、15、16分鐘，而圖一所示的隊(duì)列所需所有可能的時(shí)間為13、16、19、22、25分鐘，由這幾個(gè)數(shù)據(jù)可知，圖二的隊(duì)列排隊(duì)所需平均時(shí)間小于圖一的，且圖二的隊(duì)列人們等候的時(shí)間是公平的。

綜上所述，圖二所示的隊(duì)列排隊(duì)效率有顯著提高。

五、模型的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：此模型適用于多種情形，如飯?zhí)门抨?duì)，銀行排隊(duì)等，不止適用于電影院購(gòu)票，其他購(gòu)票情況皆可。

缺點(diǎn)：因?yàn)槊刻斓接霸嘿?gòu)票的人數(shù)都不一樣，人流速度會(huì)有較大的偏差，而且不能保證每個(gè)購(gòu)票窗口的服務(wù)速度都一致，且每條隊(duì)伍的排隊(duì)人數(shù)不盡相同，這就要通過假設(shè)或調(diào)查大概估算，所以與實(shí)際還是有一些偏差。

（指導(dǎo)老師：蘇菊香）