解析圓錐曲線的最值問題

王文忠

【摘要】 圓錐曲線的最值問題是綜合性較強的內容，重點研究變化的距離、弦長、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關問題。圓錐曲線有效銜接了代數與幾何，是數形結合的典型體現，因此圓錐曲線的最值問題的求解常常借助于幾何法和代數法。幾何法注重圓錐曲線定義與平面幾何知識的結合，代數法從函數、均值不等式等方面解析了圓錐曲線的最值問題。

【關鍵詞】 圓錐曲線 最值 幾何法 代數法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-072-01

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在解析幾何中，運動是曲線的靈魂，在運動中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點關注變化中不變的量或關系，以及變量的變化趨勢，由此產生曲線中的定點、定值問題，圓錐曲線中的參數取值范圍問題，圓錐曲線中的最值問題。

解決圓錐曲線的最值問題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質，還常用到函數、方程、不等式及三角函數等重要知識，綜合性強，聯系性廣，策略性要求高，其基本的思想是函數思想和數學結合思想，基本策略主要的代數和幾何兩個角度分析。由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質，利用幾何直觀來分析是優先選擇，但幾何直觀往往嚴謹性不強，難以細致入微，在解析幾何中需要借助代數的工具來實現突破。

幾何方法主要結合圖形的特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識作直接論證及判斷；代數方法主要是將幾何量及幾何關系用代數形式表示通過設動點坐標或動直線的方程，將目標表示為變量的函數，從而轉化為函數的最值，再借助函數、方程、不等式等知識解決。本文通過例題來展示圓錐曲線有關最值的求解思路與策略。

一、幾何法

例1已知橢圓■+■=1內有一點A（2，1），F1為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求PA+PF1的最大值與最小值。

解：如圖，設橢圓的右焦點為F2，可知其坐標為（3，0）

由橢圓的定義得：PF1+PF2=10

∴PF1=1-PF2，

∴PA+PF=PA+10-PF2=10+PA-PF2

可知，當P為AF2的延長線與橢圓的交點時，PF-PF2最大，最大值為AF2=■，當P為F2A的延長線與橢圓的交點時，PA-PF2最小，最小值為-AF2=-■。

故PA+PF的最大值為10+■，最小值為10-■。

求解策略：利用橢圓第一定義轉化為平面內到兩定點距離的最值問題。

二、代數法

（一）構造函數求解

例2【2014年福建卷】設P，Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓x210+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（ ）

A.52 B.46+2 C.7+2 D.62

[解析]設圓心為點C，則圓x2+（y-6）2=2的圓心為C（0，6），半徑r=2.設點Q（x0，y0）是橢圓上任意一點，則20x10+y20=1，即x20=10-10y20，

∴CQ=2010-10y+（y0-6）2=20-9y-12y0+46=＼rc＼3）））＼s＼up12（2）+50，

當y0=-23時，CQ有最大值52，

則P，Q兩點間的最大距離為52+r=62.

小結

函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數，反比例函數等，值得注意的是函數自變量取值范圍的考察不容忽視。

（一）構造均值不等式形式

例3【2014·新課標全國卷Ⅰ】已知點A（0，-2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為3）2，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為3）3，O為坐標原點。

（1）求E的方程；

（2）設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程。

解：（1）設F（c，0），由條件知，2c=3）3，得c=3.

又ca=3）2，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故E的方程為x24+y2=1.

（2）當l⊥x軸時不合題意，

故可設l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

將y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0，當Δ=16（4k2-3）>0，即k2>34時，x1，2=4k2-3）4k2+1，從而PQ=k2+1|x1-x2|=k2+1）·＼r（4k2-3）4k2+1.

又點O到直線l的距離d=2＼r（k2+1）.

所以△OPQ的面積S△OPQ=12d·PQ=4k2-3）4k2+1.設4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=44t.

因為t+4t≥4，當且僅當t=2，即k=±7）2時等號成立，滿足Δ>0，

所以，當△OPQ的面積最大時，k=±7）2，l的方程為y=7）2x-2或y=-7）2x-2.

小結：上例是利用均值不等式定理求解圓錐曲線最值問題的，解題時要先將目標函數配湊成積（或和）為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的重要前提。

綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯系圓錐曲線的定義和性質，重視運用數形結合，將問題轉化為一定的函數關系或不等式進行討論。概括來說：先根據題設條件，恰當選擇某個與目標密切相關的自變量，并確定目標函數的解析式；在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件等前提下，應用函數的單調性、均值不等式定理及其推論等進行分類討論。此外，解題過程力爭做到思路清晰、推理嚴密、規范合理、結果準確。