初中數(shù)學幾何證明題教學模式初探

梁錦斌

【摘要】 初中幾何證明題不但是學習的重點。而且是學習的難點，很多同學對幾何證明題。不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，部分學生對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導致大部分的學生失去了幾何學習的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學中怎樣才能把幾何證明題的求解過程敘述清楚呢？根據(jù)教學經(jīng)驗，我在教學中是這樣做的，希望與大家一起探討。

【關鍵詞】 讀題 分析 規(guī)范書寫 變式訓練

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-049-02

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初中幾何證明題不但是學習的重點。而且是學習的難點，很多同學對幾何證明題。不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，部分學生對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫，這樣，導致大部分的學生失去了幾何學習的信心，雖然新的課程理念要求，推理的過程不能過繁。一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整，教學中怎樣才能把幾何證明題的求解過程敘述清楚呢？根據(jù)教學經(jīng)驗，我在教學中是這樣做的，希望與大家一起探討。

1. “讀”——讀題

如何指導學生讀題？仁者見仁、智者見智，我們課題組結合我們的研究和本校學生的實際，將讀題分為三步：第一步，粗讀（類似語文閱讀的瀏覽）。快速地將題目從頭到尾瀏覽一遍，大致了解題目的意思和要求；第二步，細讀。在大致了解題目的意思和要求的情況下，再認真地有針對性地讀題，弄清題目的題設和結論，搞清已知是什么、需要證明的是什么？并盡可能地將已知條件在圖形中用符號簡明扼要地表示出來（如哪兩個角相等，哪兩條線段相等，垂直關系，等等），若題中給出的條件不明顯的（即有隱含條件的），還要指導學生如何去挖掘它們、發(fā)現(xiàn)它們；第三步，記憶復述。在前面粗讀和細讀的基礎上，先將已知條件和要證明的結論在心里默記一遍，再結合圖形中自己所標的符號將原題的意思復述出來。到此讀題這一環(huán)節(jié)，才算完成。

對于讀題這一環(huán)節(jié)，我們之所以要求這么高，是因為在實際證題的過程中，學生找不到證明的思路或方法，很多時候就是由于漏掉了題中某些已知條件或將題中某些已知條件記錯或想當然地添上一些已知條件，而將已知記在心里并能復述出來就可以很好地避免這些情況的發(fā)生。

2. “析”——分析

指導學生用數(shù)學方法中的“分析法”，執(zhí)果索因，一步一步探究證明的思路和方法。教師用啟發(fā)性的語言或提問指導學生，學生在教師的指導下經(jīng)過一系列的質疑、判斷、比較、選擇，以及相應的分析、綜合、概括等認識活動，思考、探究，小組內討論、交流、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方法。

3. “述”——口述

學生學習小組推選小組代表，由小組代表分析自己那一組探究到的證明的思路和方法，口述證明過程及每一步的依據(jù)。我們知道學習語文、外語及其他語言都是從“說”開始學起的，那么學習幾何語言，也可以嘗試先“說”后寫。初三的學生，可以讓他們先在小組內自主探索、討論交流，弄清證題思路，然后再讓學生代表口述證題過程，達到訓練學生應用和提高幾何語言的表達能力的目的。

4. “擇”——選擇最簡易的方法

在各位學生代表口述完解題過程后，教師引導學生比較、選擇最簡單的一種證題方法，這樣做，不僅能幫助學生進一步理清證明思路、記憶相關的幾何定理、性質，而且還增加了學生學習的興趣和好奇心，從而激發(fā)學生學習的積極性和主動性。

5. “演”——板演

在學生集體復述解題的基礎上，教師板演上述解題過程，給學生作證題的書寫示范，讓學生體會怎樣合理、規(guī)范、科學地書寫證明過程。

6. “練”——變式練習

變式，既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學方法。通過變式訓練，在課堂上展現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展、形成的完整認知過程。在教學實踐中，我對于相似三角形的對應高，對應中線，對應角平分線的比與相似比的關系探索中，類比給出了對應邊上的n等分線段的比與相似比的關系有怎樣？啟發(fā)學生思考相似三角形“對應元素”的比與相似比的問題，讓學生深入思考問題的同時加深了對相似三角形性質的理解。

變式教學符合學生是認知規(guī)律，能有層次地推進，為學生提供一個求異、思變的空間，讓學生把學到的概念、公式、定理、法則靈活應用道各種情景中去，培養(yǎng)學生靈活多變的思維品質，提高學生研究、探索問題的能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，從而有效地提高數(shù)學教學效果。

因此，在學生獲得某種基本的證法后，教師可以通過變式，改變問題中的條件，轉換探求的結論，變化問題的形式或圖形的形狀位置等多種途徑，指導學生從不同的方向、不同的角度、不同的層次去思考問題。

在此基礎上，再讓學生分組討論，合作交流，做出更多的變式題目，并思考改變了已知或結論的題目又如何證明?！疤剿魅切蜗嗨频男再|（一）”將采用“啟發(fā)探究”式的教學法，通過“情境引入——探索交流——探索應用——拓展應用——收獲體會——課堂延伸”的教學思路。本文對這個教學案例作簡要分析，談談一些具體做法。（附講學稿及相應教法體會和說明）§3.7.1相似三角形的性質（一）

一、教學目標：經(jīng)歷探索相似三角形中對應線段比值與相似比的關系的過程，理解相似三角形的性質；培養(yǎng)學生的探索精神和合作意識；在探索過程中發(fā)展學生對數(shù)學問題的興趣和全面思考的思維品質；

二、教學方法：啟發(fā)、自主探究與歸納

三、教學過程：

（一）溫馨回顧

1.如圖，△ABC≌△DEF，請寫出△ABC和△DEF的對應角、對應邊的關系（此處用類比方法復習引入，學生自主對照，選學生代表主持）。

2.如圖，△ABC∽△DEF，請寫出△ABC和△DEF的對應角、對應邊的關系，（找對應關系是基本技能，小組簡短交流，代表分析）。

（二）快樂探究

1.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AD、A′D′分別是這兩個三角形的高。

①求證：ΔABD∽ΔA′B′D′；②求證：■=■=k

（此處可以開放式設計問題，即對應高的比等于什么）

自主小結：相似三角形的對應高的比等于______。

2.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AE、A′E′分別是這兩個三角形的中線。

①求證：ΔABE∽ΔA′B′E′②求AE∶A′E′的比值。

（分小組研究，其他組完成后再參加討論）

自主小結：相似三角形的對應中線的比等于 。

3.如圖，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，AF、A′F′分別是這兩個三角形的角平分線。

①求證：ΔABF∽ΔA′B′F′②求AF∶A′F′的比值

（小組討論代表分析證明過程，此處教師適當進行引導講解

提高認識）

自主小結：相似三角形的對應角平分線的比等于 。

歸納與提升：現(xiàn)在，你了解到更多的相似三角形的性質了。

相似三角形對應 的比、對應 的比和對應 的比都等于 。

（閱讀理解，總結與歸納，進一步理解相似三角形性質）

（三）例題欣賞

例1如圖，AD是△ABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形。

（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？

（2）求正方形PQRS的邊長。

（獨立思考并集中分析，初步形成對于此類題型的解決方法）

例2（課本P107例題，自主閱讀理解）

（四）學以致用（重點分析4，5題的解題思路）

1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2：3，那么對應角平分線的比是 ，對應邊上的中位線的比是 。

2.△ABC與△A'B'C'的相似比為3：4，若BC邊上高AD=12cm，則B'C'邊上高A'D'= 。

3.如圖菱形ABCD的邊長為2，延長AB到E，EB=2AB，連接EC延長交AD線于F，試求DF的長。

4.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上。求這個正方形零件的邊長是多少？

后記

在教學過程中，我有意識地培養(yǎng)學生的獨立思考和小組共同探究的新的學習方式的能力，培養(yǎng)了在學習過程的領軍人物，他們超前學習，語言組織能力較強，獨立和團結協(xié)作能力，講題技巧得到進一步鍛煉。當然，我在后面的發(fā)散變式探究中適當站出來明確方法的應用也恰如其分，讓學生耳目一新，有頓悟的感覺。不但提高了能力，也擴展了知識視野。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]《六步式教學模式》.