“復合函數增減性”不同階段的分層教學

程慧剛

【摘要】 進入21世紀，現行高中的各門學科都進行了新教材改革，數學科也不例外，新教材有的放矢的刪除了一些傳統教學內容，如余切函數、反三角函數的圖象與性質等，同時也增添了不少現代數學內容，如三視圖、定積分等，新舊內容的更替使得我們對待一些傳統數學問題的教學需要與時俱進，更新自己的知識與思想，進行重新認識與思考。“復合函數”的單調性的判斷就是值得我們重新認識與商討的問題。

【關鍵詞】 復合函數 單調性 導數

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-034-02

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復合函數是中學數學教學中經常遇到的一類函數。縱觀近十年的高考數學試題，復合函數已成為高考命題的熱點。事實上，學好復合函數對深化函數概念，提高學生綜合運用函數思想解決數學問題具有重要意義。但高中數學課本中沒有對復合函數作全面的介紹，教師雖然就題論題點點滴滴地介紹了一些復合函數的有關知識，但大多數高中學生尤其是高一學生還是感到茫然。因此，在復合函數的教學過程中，教師很有必要對復合函數中有關高考要求的知識點，加以歸納、整理，使之系統化，從而對學生比較全面地掌握復合函數有重要作用。

一、復合函數的概念

已知函數y=f（u）和函數u=g（x），若滿足u=g（x）的值域A是函數y=f（u）的定義域B的子集，那么x在定義域內的任意一個值可以唯一地確定一個y值（在其值域內），則y=fg（x）叫做y=f（u）與u=g（x）的復合函數。其中u=g（x）為內函數，y=f（u）為外函數。例如y=lg（x2-2x）可以看作由y=lgu與y=x2-2x復合而成，其中y=x2-2x為內函數，y=lgu為外函數。

二、復合函數單調性的判斷方法

1.利用函數單調性定義判斷：設函數f（x）定義域為I

若對于I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f（x2），就說函數f（x）在區間D上是減函數。

2.利用單調性有關結論

若u=g（x）、y=f（u）對所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則y=fg（x）為減函數；若u=g（x）、y=f（u）對所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則y=fg（x）為增函數。

3.求出復合函數的導數，令導數分別大于零、小于零解出x的范圍

三、教學策略

先由簡單函數圖象抽象得出函數單調性概念得到方法1，進而通過講解例題1，分析單調性判斷的實質舉例2補充說明，發現方法2，以例3強化理解、識記（均可在高一教學中完成）。待到高二學習導數后，拿出簡便方法3，實現對函數單調性判斷的徹底掌握。

四、教學實施

例1.討論函數f（x）=1-x2的單調性。

解：定義域{x|（1≤x≤1}，在[（1，1]上任取x1，x2且x1

f（x2）=1-x22f（x1）=1-x21

則f（x1）-f（x2）=1-x21-1-x22=（1-x21）-（1-x22）1-x21+1-x22

=x22-x211-x21+1-x22=（x2+x1）（x2-x1）1-x21+1-x22

∵x10，另外，恒有1+x21+1+x22>0

∴若（1≤x1

若00，則f（x1）（f（x2）>0，f（x1）>f（x2）

∴在[（1，0]上f（x）為增函數，在[0，1]上為減函數。

例2.求函數y=（12）x2-2x的單調區間。

解：設x2-2x=u，u（x）在x≤1時是減函數，在x≥1時是減函數。由y=（12）u是減函數，因此，當x∈（-∞，1]時，x↑u（x）減u↓y（u）減y↑；

當x∈[1，+∞）時，x↑u（x）增u↑y（u）減y↓；

∴函數y=（12）x2-2x的遞增區間為（-∞，1]，遞減區間為[1，+∞）.

據例1歸納，①復合函數為兩個減函數復合：那么隨著自變量x的增大，y值也在不斷的增大，函數為增函數；一個減函數與一個增函數復合：隨著自變量x的增大，y值也在不斷的減小，函數為減函數。

②復合函數為兩個減函數的復合：那么隨著內層函數自變量x的增大，內層函數的y值就在不斷的減小，而內層函數的x值就是整個復合函數的自變量x。因此，即當內層函數自變量x的增大時，內層函數的y值就在不斷的減小，即整個復合函數的中間變量x不斷減小，又因為外層函數也為減函數，所以整個復合函數的y值就在增大。因此可得“同增”。

若復合函數為一增一減兩個函數復合：假設內層函數為增函數，則隨著內層函數自變量x的增大，內層函數的y值也在不斷的增大，即整個復合函數的中間變量x不斷增大，又因為外層函數為減函數，所以整個復合函數的y值就在減小。反之亦然，因此可得“異減”。

例3.求f（x）=log（-x2+4x-3）0.4的單調區間

解：由-x2+4x-3>01

令u（x）=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，可知u（x）在（1，2）遞增，在（2，3）遞減。

∵0<0.4<1，∴y=logu0.4是減函數，f（x）在（1，2）遞減，在（2，3）遞增

例4.已知f（x）=8+2x-x2，g（x）=f（2-x2），求g（x）的單調區間。

方法一：設u=2-x2，即g（x）=f（u），利用復合函數單調性的有關結論，進行判斷。

解：設u=2-x2，則g（x）=f（u）=8+2u-u2

∵u=-x2+2在（-∞，0）上是增函數，在（0，+∞）上是減函數，又y=8+2u-u2=-（u-1）2+9在（-∞，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數。

當u<1時，有2-x2<1x>1x>1或x〈-1；

當u>1時，有2-x2>1x<1-1〈x〈1

∴g（x）的單調增區間是（-∞，-1）與（0，1），單調減區間是（-1，0）與（1，+∞）.

方法二：直接求出g（x）的解析式求其一階導數g′（x），令g′（x）>0、g′（x）<0解出x的范圍表示為區間即為相應的遞增區間、遞減區間。

解：g（x）=f（2-x2）=8+2（2-x2）+（2-x2）2=-x4+2x2+8，g′（x）=-4x3+4x

令g′（x）>0x<-1或01.

∴g（x）的單調增區間是（-∞，-1）與（0，1），單調減區間是（-1，0）與（1，+∞）.