引發學生逆向思維的幾種因素

劉家良

思維分正向思維和逆向思維，然而人們思考問題時慣于正向思維，忽視逆向思維的應用，致使思維面狹窄.事實上逆向思維和正向思維二者處于同等地位，而且有些問題若能善于從逆向思維的角度去思考，會使思維變得流暢，問題迎刃而解.現就引發學生逆向思維的幾種因素進行分析和歸納，旨在拓寬學生分析和解決問題的渠道，以此培養學生思維的廣闊性、深刻性和靈活性.

1 由數、式運算的可逆性引發的逆向思維

是在對已知數、式子的結構特征（可逆性）觀察分析的基礎上做出的反向思考.在對數、式子正向思維出現困難時，可嘗試著去調整思維方向，將定義、法則和性質進行逆用，尋求新的解題路徑，是建立逆向思維的一條有效途徑.這需要教師引導學生去觀察、去類比、去聯想.

例1 （5-3）2（8+2）.

分析 大多數學生是遵從先算平方，再按多項式法則展開、合并的程序，是一種正向思維；細心觀察，就會發現8+215這個式子能拆成（5）2+（3）2+253，故此它能“分解因式”，所以原式等于（5-3）2（5+3）2，此時再逆用積的乘方公式就可迅速求得結果.

解 （過程略）原式=4.

評析 通過對式子8+215的結構特征的觀察與思考，將其“分解”成（5+3）2是一種逆向思維，隨后又發現整個式子可逆用積的乘方公式.兩次逆向思考使問題的解答變得靈活、簡捷，克服了學生的思維定勢，使學生的思維視野得以開闊.

例2 （2011年天津中考）若實數x，y，z滿足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0.則下列式子一定成立的是（ ）.

A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0

分析 由題設的結構式可聯想到一元二次方程根的判別式，從而得關于p的一元二次方程為（x-y）p2+（x-z）p+y-z=0（x≠y）.通過觀察，得-1為該方程的一個根.又由于Δ=0，故方程有兩個相等的實數根，即p1=p2=-1.由求根公式，得-1=-（x-z）2（x-y），即z+x-2y=0.特別地，當x=y時，得（x-z）2=0，x=z，于是，x=y=z，對z+x-2y=0而言，依然成立，故此選D.

評析 由已知等式左邊的結構特征聯想到一元二次方程根的判別式及判別式的值為0，同時發現-1為這個方程的根，反映了學生的類比、聯想能力，表現出思維的逆向和創新.

2 由所給結論尋求條件而引發的逆向思維

這種逆向思維多用在多項選擇題中.它往往從結論的組成“元素”入手，對每一個元素逐一分析、綜合，得出結果，再將結果和結論作比較得出正確選項.

例3 （2013年廣安中考）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1.下列結論：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0

其中正確的是（ ）.

A.①③ B.只有② C.②④ D.③④

解析 對選項①，結合圖象需要確定系數a、b、c的正、負性，由拋物線開口方向向上，得a>0，依據“左同右異”的規律，得b<0，由拋物線與y軸的正半軸相交，得c>0，故abc<0；選項②，是關于a，b的式子.由-b2a=1，得b=-2a，即2a+b=0；對選項③，欲判斷b2-4ac的正、負，需看拋物線和x軸的交點個數.由拋物線和x軸有兩個交點，得b2-4ac>0；選項④，4a+2b+c是x=2對應的函數值.根據拋物線的對稱性，知拋物線和x軸的右交點的橫坐標小于2，故4a+2b+c>0.綜上，選C.

3 由圖形（圖象）運動的相對性引發的逆向思維

解圖形或圖象的變換問題，若正向思維感到難度較大時，不妨采用動、靜轉化法（化靜為動），有助于開啟解題思路.

例4 （2013年衢州中考）拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數解析式為y=（x-1）2-4，則b、c的值為（ ）.

A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0

C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2

分析 依據運動的相對性原理，可知拋物線y=（x-1）2-4先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，就得拋物線y=x2+bx+c.由于拋物線y=（x-1）2-4的頂點坐標為（1，-4），所以拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為（-1，-1），所以y=x2+bx+c=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故選B.

4 從問題的反面出發引發的逆向思維

當一個數學問題正面解答受阻時，有時從問題的反面入手，或許能絕處逢生，柳暗花明.

例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個方程有實數根，求k的取值范圍.

分析 若將“至少有一個方程有實數根”逐一去考察，則會有7種情況，運算繁瑣.由于“至少有一個方程有實數根”與“三個方程均無實數根”是對立排斥的，所以可改從這個問題的反面即三個方程均無實根的角度來考慮，即從Δ1，Δ2，Δ3三者均小于0中解出k的取值范圍，再從實數中排除這個k的取值范圍.

解 由Δ1=8k+9<0，Δ2=8k+12<0，Δ3=20k-15<0，得k<-32.因此當k≥-32時，三個方程中至少有一個方程有實數根.

5 突破慣性束縛引發的逆向思維

5.1 從“配角”變“主角”中引發的逆向思維——“主元”和“輔元”角色的變換.

例6 在關于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數.當a為何值時，方程至少有一個整數根？

分析 因為有“關于x”的字眼，所以大多數學生習慣于用求根公式將x用a的式子表示出來，接下來通過x為整數去求正整數a的值，計算起來繁瑣，此時，不妨嘗試一下將系數a用未知數x的式子表達，即將a視為未知數，x視為系數，這樣關于x的二次方程就變成了關于a的一次方程.

解 由ax2+4ax-2x+4a-7=0，得a（x2+4x+4）-2x-7=0，所以a=2x+7x2+4x+4=2x+7（x+2）2=2（x+2）+3（x+2）2=2x+2+3（x+2）2.

因為a為正整數，x為整數，所以x+2=±1，于是a=5，a=1.

因此，當a=5或1時，原方程至少有一個整數根.

評析 將主角和配角更換一下角色，另辟蹊徑，同時變形中穿插了“裂項”法，其本身也是一種逆向思維.

5.2 由內角向外角的轉換

例7 一個凸n邊形的內角是銳角的角至多有多少個？

分析 此題可用特例法，如n=4時，內角和為360°，內角是銳角的角至多有3個；還可從一個凸n邊形的外角入手.因為凸n邊形的外角和360°，外角為鈍角時至多有3個，而外角為鈍角時，則與其相鄰的內角為銳角，所以一個凸n邊形的內角是銳角的角至多有3個.

6 將問題暫時復雜化——退而求進

例8 比較12-11與10-9的大小.

分析 觀察后發現，這兩個式子與它們各自的有理化因式的積均為1，此時不妨采用“分子有理化”的方法做一嘗試.

解 12-11=12-111=（12-11）（12+11）12+11=112+11，10-9=110+9.因為112+11<110+9，所以12-11<10-9.

綜上，引發學生逆向思維的6種因素，都有一個共同之處：用正向思維考慮問題比較費勁時，打破原有的思維定勢，反其道而行之，則會有眼前一亮，豁然開朗之感.在教學中，我們證明一個幾何問題，常常采用分析法的思路，即從結論入手，要證什么，需證什么，其實就是一種逆向思維.平時引導學生將命題的條件和結論顛倒位置再思考，久之，逆向思維就會逐步形成，從而克服由思維定勢帶來的負面影響，使思維得以全面開發.