基于APOS理論的初中生函數概念認知調查

袁柳芳++蔣科

1 APOS理論簡述

APOS理論是美國的杜賓斯基等人在數學教育研究實踐中發展的一種理論，是針對于數學概念學習過程研究的一種建構主義的學習理論，[1]杜賓斯基認為，學生學習數學概念要進行心理建構，這一建構要經歷4個階段：操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme），取這四個階段英文單詞的首字母，定名為APOS理論[2].這種理論不僅指出學生的學習過程是建構，而且表明了建構的層次.

操作階段（Action）是學生理解概念的一個必要條件，通過操作讓學生親自體驗，感受直觀背景和概念間的聯系.例如，在有現實背景的問題中建立函數關系：y=x2，需要用具體的數字構造對應：2→4；3→9；4→16；5→25；……通過操作，理解函數的意義.

過程階段（Process）是學生對操作進行思考，經歷思維的內化，概括過程，學生在頭腦中對活動進行操作和反思，抽象出概念所特有的性質.一般地，有x→x2；其它各種函數也可以概括為一般的對應過程：x→f（x）.

對象階段（Object）是通過前面的抽象認識到了概念的本質，對其進行壓縮并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中具體的對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動.比如函數的加減乘除、復合運算等，在表示式f（x）±g（x）中，函數f（x）和g（x）均作為整體對象出現.

圖式階段（Scheme）的形成是要經過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習，建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系，在頭腦中形成綜合的心理圖式[3].

APOS理論提出的數學概念學習的四個階段，從思維層次上反映出數學概念從具體操作行為到抽象的心理結構的過程性，是概念在頭腦中建構的一個連貫順序，是循序漸進螺旋上升的.

2 研究的設計

2.1 研究工具

本測驗工具依據APOS理論各層次的具體建構目標，配合我國現行全日制義務教育數學課程標準的要求，同時參考初中數學教科書，以及函數概念相關研究等文獻編制而成，編制試題期間多次修正后，進行預試，根據預試的結果再進行修正，成為正式施測題目.正式測試題“函數概念認知測驗”包括20道選擇題和2道解答題，選擇題分屬五個函數概念認知層次，每個層次有五題，另外2道解答題則為研究學生函數概念認知提供參考.利用SPSS 12.0 for windows的分析結果，得到總測驗的alpha值為.801，顯示此份工具的信度相當高.

2.2 研究對象

為使調查結果具有一定的說服力和推廣性，在選擇研究樣本時考慮所選樣本必須具有一定的代表性，且從不同學校選取同一層次上的班級，便于對結果進行比較分析.本研究選取具有代表性的2所初中共490名學生作為樣本進行調研.

2.3.1 APOS理論各層次表現 根據表1的數據可以發現初三學生函數概念認知各層次掌握較好，其中對象層次的第15題和圖式層次的第20題正確率較低，這兩題考察的分別是函數圖象上的動點問題和圖形運動中的函數關系問題，這類圖形運動的問題綜合性較強，怎樣把動態問題變為靜態問題來解是許多學生難以跨越的障礙.

本研究以某一層次正確率達到60%作為通過該層次的標準，例如某個學生在操作層次上的5道題中答對其中任意3道即代表該生通過該層次.由此統計所有樣本在各層次上學生通過人數及通過比例.

從各層次的平均正確率和通過比例來看，總體上掌握較好，但是過程階段正確率和通過率都相對較低，說明在教學中應特別重視學生函數概念抽象的過程，怎樣讓學生經歷思維的內化，概括過程，抽象出概念所特有的性質，是教學的一個難點.這也是高中學生函數學習同樣面臨的問題.

2.3.2 學校差異

圖2 兩校各層次通過人數比例對比 將兩校初三年級學生函數概念認知各層次正確率和通過率進行對比，發現兩校學生表現差異不大，總體上Y校比X校表現略好，通過獨立樣本t檢驗，表明兩校在函數概念認知上沒有顯著性差異，這也很好的體現了義務教育階段教育資源均衡化的要求.

2.3.3 性別差異

以性別來看，在各層次上男生表現優于女生.進一步對測試結果進行學校、性別二因子變異數分析，可以發現學校與性別之間無交互作用.

3 結論

（1）初三學生函數概念認知在APOS理論各階段上掌握較好，但是函數圖象上的動點問題和圖形運動中的函數關系問題正確率較低，亟待加強.

（2）從各層次的平均正確率和通過比例來看，過程階段正確率和通過率都相對較低，在教學中應特別重視學生函數概念抽象的過程.

（3）學校之間在函數概念認知上沒有顯著性差異，這也很好的體現了義務教育階段教育資源均衡化的要求.

（4）在各層次上男生表現優于女生，且學校與性別之間無交互作用.

4 函數概念認知影響因素分析

學生函數概念認知水平受多種因素的影響，包括教師的教學方式、學生的學習方法、中學數學函數課程的設置等因素.

我國中學數學學習向來重視考試，通過大量的習題訓練，獲得優異的數學成績，但缺少對數學概念、方法和思想深刻地理解.正如張奠宙先生撰文指出的，東西方數學教育區別之一是：西方人主張“理解、理解、理解”，而華人則多半主張“練習、練習、練習”[4].

李士锜先生在“熟能生巧嗎”一文中指出：“一方面，許多優等生勤奮努力的經驗，以及我國、日本等東亞地區在多次國際性評估中成績名列前茅的事實可以從正面肯定我們的傳統做法：大量數學習題訓練和經常性測驗考試是提高學生成績的有效途徑；另一方面，大運動量訓練的‘題海戰術使學生和教師的負擔不堪忍受，表現出效率低下，抑制學生的創造性和積極性的弊端.”

另外，分析中美兩國中學數學課程標準關于函數概念的要求也有所區別.美國的課程標準強調從學前教育到高中的過程中，應幫助學生學習各種函數，特別強調運用函數的多種表征方式，加深學生對函數概念的理解，[5]在不同學段，對函數有不同內容、不同程度、不同范圍的要求.學生對函數的認識是循序漸進、逐步提高的.我國數學課程標準中只在初中、高中階段有函數內容和要求，小學階段沒有[6].

參考文獻

[1] 曾國光.中學生函數概念認知發展研究[J].數學教育學報，2002（2）：99-102.

[2] 徐立英，張麗娜.APOS理論對函數概念教學的啟示和應用[J].高等教育研究，2007（3）：73，74.

[3] 濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J].數學教育學報，2007（2）：48-50.

[4] 史寧中.中學數學課程與教學中的函數及其思想——數學教育熱點問題系列訪談錄之三[J].課程·教材·教法，2007（4）：36-40.

[5] HamideDogan-Dunlap.reasoning with metaphors and constructing an understanding of the mathematical function concept. In Woo， J. H.， Lew， H. C.， Park， K. S. &Seo， D. Y. （Eds.）. Proceedings of the 31st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Seoul： PME. Vol. 2∶209-216.2007.

[6] 全美數學理事會，蔡金法等譯.美國學校數學教育的原則和標準[M].北京：人民教育出版社，2004：21-22，36-37，84-86，142-144，204-206，268-277.