溶液密度的另一種計算

戴林基　何為

把鹽（NaCl）溶解于水是生活中的常見現(xiàn)象，然而其中也有不同尋常之處，溶解前后整個物質(zhì)的體積將發(fā)生變化，即V鹽+V水≠V鹽溶液 。這當中的差值導致即使已知NaCl的質(zhì)量、密度以及H2O的質(zhì)量（將當前溫度下水的密度視為1g/cm3），也無法通過理論直接計算完全溶解后的溶液密度（需要測量混合后的溶液體積）。

如何求出體積變化的差值？經(jīng)過一段時間的思考，我們推導出一個公式：△V=（ρ水-ρ質(zhì)）（M水M質(zhì)）/ρ質(zhì)ρ水（M水+M質(zhì)）。

一、研究思路

先尋找溶解前后的不變量，最容易想到的是質(zhì)量守恒與能量守恒，難點在于如何運用能量守恒定律。根據(jù)現(xiàn)有的理論，溶解常常伴隨著能量的變化。

查閱資料后，我們有了這樣的理解：溶質(zhì)原本相對緊密地結(jié)合在一起，溶解后被均勻地分散到溶液中，這個過程是吸熱的，可類比為物質(zhì)由固態(tài)變?yōu)橐簯B(tài)的過程。接著溶質(zhì)又與水結(jié)合，形成水合分子或水合離子，并在結(jié)合過程中放熱。

某種物質(zhì)究竟是放熱還是吸熱取決于上述兩個過程誰占上風，我們認為可將其視為廣義的化學能與熱能的相互轉(zhuǎn)化。除此之外，還有一個非常重要的勢能——重力勢能。在整個過程中大多數(shù)能量變化是化學能與熱能的相互轉(zhuǎn)化，重力勢能的變化微乎其微，可視為不變量。找到了問題的關(guān)鍵所在，就可進行理論推導。

二、理論推導

設(shè)現(xiàn)有水質(zhì)量為Ma，溶質(zhì)質(zhì)量為Mb，溶液密度為ρ。此刻我們需要建立一個特殊的物理模型：假設(shè)有一個底面為正方形的容器，且底面積為1m2。先將溶質(zhì)變?yōu)橐粋€分布均勻的長方體，放置在容器底部（理想狀態(tài)下）。溶質(zhì)體積為Mb/ρ，又h=v/s，那么s等于1，推導出h=v（在數(shù)值上相等），那么重心所在高度為1/2h，即Mb/2ρ，其具有的重力勢能E=mgh=Mb2g/2ρ。——①

緊接著加水，讓水在溶質(zhì)之上也形成一個長方體（假設(shè)整個過程不發(fā)生溶解），那么水層的高度等于Mb/ρ+Ma，水的重心在高度為Mb/ρ+Ma/2處，水具有的重力勢能E=mgh=Mag（Mb/ρ+Ma/2）=（MaMb g /ρ+Ma2g/2）。——②

讓這一刻定格，并將其作為初始態(tài)，那么整個體系所具有的重力勢能為①+②，整理后得，E=（Mb2g+2Ma Mb g +ρMa2g）/2ρ。隨后分析終態(tài)，即溶質(zhì)已完全溶解，設(shè)此刻溶液的高度為t，則溶液體積為t（數(shù)值上相等），體系所具有的重力勢能為（Ma+Mb）gt/2。——③

由于③與初始態(tài)的重力勢能相同即可推出，t=（Mb2+2Ma Mb+ρMa2）/ρ（Ma+Mb）。用t減去原體積可得出△V=（1-ρ）（MaMb ）/ρ（Ma+Mb）。通過這個公式可以明了地看出，當溶質(zhì)的密度大于水時，溶解后體積減小，如NaCl；反之則增大，如氨水等；相等則不變化，與實際吻合。則ρ溶液=M總/t=ρ（Ma+Mb）2/（Mb2+2Ma Mb+ρMa2）。

通過上網(wǎng)查資料得知，在20℃下，飽和食鹽水密度為1.333g/cm2，食鹽的密度為2.165g/cm2，該溫度下100g水可溶36g鹽，帶入推導的公式，結(jié)果與事實吻合。由于無論在任何形狀的容器內(nèi)溶解任何形狀的溶質(zhì)，溶解后的△V相等，ρ溶液相等，所以此結(jié)論具有普遍性。

鑒于不同溫度下水的密度不一，同樣的思路可以計算出：

ρ溶液=M總/t=ρ水ρ質(zhì)（Ma+Mb）2/（ρ水Mb2+2Ma Mbρ水+ρ質(zhì)Ma2），

△V=（ρ水-ρ質(zhì)）（M水M質(zhì)）/ρ質(zhì)ρ水（M水+M質(zhì)）。對不同溶劑一樣適用。

三、總結(jié)與反思

推理的過程及結(jié)果令人興奮，但我們?nèi)杂幸蓱]，重力勢能是否真的完全不改變？我們無法在理論上給予證明，也難以用簡單的儀器得到精準的數(shù)據(jù)，這是我們此次探討中的不足之處。但計算結(jié)果與事實吻合，應(yīng)當可以在一定程度上解釋這個問題。（指導老師：曹洪程 魏建春）