追本溯源 高屋建瓴 推陳出新

張榮生

角的度量這一單元是“圖形與幾何”的基礎性內容，主要研究的是線與角這兩部分具有高度關聯的知識。以往的教學，教師通常更關注學生“量角”“畫角”等技能的程序性知識教學，強調示范、講解、答疑的指導，卻忽視基本活動經驗的積累和空間觀念的培養，缺乏站在學生的角度思考教學的變革，從而影響了課堂教學的質量。本文從三個角度出發，深入剖析教材，思考教學對策。

一、追本溯源，探索角的度量的新起點

傳統的操作教學，側重的是操作方法的傳授與總結。反映到“量角”知識上，就是“點對點，邊對邊，答案要看另一邊”的“兩重一看”方法概括指導。但是，在總結和練習后，學生量角還是頻頻出錯。究其原因有兩個，一是學生不理解量角器，二是不習慣運用曲線測量工具。

量角使用的量角器，是一個構造復雜的測量工具，與學生熟悉的直尺等“直”的測量工具相比，具有“曲與直”的本質差異，學生不理解量角器為什么要有兩圈數字，在量角器上看不到“1°角”這個基本單位角，無法理解生活中很熟悉的角，為什么要從量角器曲邊上去找那一個一個的點，與0°刻度線和中心點又有什么關系。因此，要提高教學的有效性，教學就必須從學生的困惑出發，追本溯源、研究對策，探索教學的新起點。

第一，讓學生熟悉量角器，使它變成學生熟悉的工具。教學可在動態演繹量角器的形成過程上下工夫。對學生來說，他們測量的思維起點是度量都需要基本單位，其結果都是看里面含有幾個基本單位。量角的大小也需要工具，對這個工具的“誕生”過程的理解，是學生是否會量角的基礎。教師可以這樣處理——（1）引導：用數字表示角的大小，需要一個統一的標準。（2）出示：角的度量單位叫作度（記為 °），把一個圓平均分成360份，其中的1份就是1 °。（3）思考：拿著一個1 °角去測量角，方便嗎？怎么辦？（太小不方便，可以把很多1 °拼在一起）（4）思考：看不出是幾個1 °角拼在一起怎么辦？（標數字，180個1°拼在一起）（5）追問：這樣的角測量（開口在左），方便嗎？怎么辦？（從左邊開始，再標一圈數字）這樣，動態展示量角器的制作過程，學生心中對量角器就不再陌生了。

第二，換位學生教量角。量角的本質是“重合”。就是讓需要度量的角和量角器上的角重合在一起，量角器上的角標記的度數就是這個角的度數。對學生來說，怎么重合就是一個難點，因此，必須在學生的認知和量角技巧中間，找到一個連接點，這可以用“在紙質量角器上畫角”來實現。（1）試一試：在紙質量角器上畫出一個60°的角。（2）觀察：觀察角的頂點和兩邊在量角器上相應的位置。再找一找中心點、0度刻度線的位置。（3）思考：指向60°的這條射線上的刻度有哪幾個？為什么是60°而不是120°？（4）操作：在另一個紙質量角器上再畫一個不同方向的60°的角。（5）比較：兩個角在紙質量角器上有什么區別？這樣，如果學生在量角器上輕易就找到了角，量角的“兩重一看”以及內外圈的處理等困難就迎刃而解了。

二、高屋建瓴，思考知識建構的新對策

角的度量單元有不少重要的起始概念，像直線，線段、射線、角等。教學必須符合學生的年齡特點和認知規律，幫助學生用系統和聯系的觀點去認識這些概念。其實，簡單概念不簡單，在實際教學中，學生會出現 “直線明明能看到它的長短，為什么說無法度量？”“角的邊為什么是射線？”等各種問題。深刻認識這些“幾何與圖形”范疇的基礎概念，準確把握學生的認知特點。需要教師對概念有更深刻的認識，在教學和指導上有針對性的對策。

1. 不要簡單理解概念。

在嚴密的希爾伯特幾何體系中，點線面等都是不定義的概念。新版教材對“線段、直線、射線”的刻畫同樣僅僅是描述而不下定義。但是，如果因為概念不定義從而簡單對待，反而會導致教學失誤或不到位。

以“直線”為例。要讓學生明白一條直線，沒有端點，而且是無限長的，是需要對策的。直線的教學是否到位，有兩個衡量的指標。第一，是否引導學生展開想象。直線是無限長且可以無限延長，這是學生生活中用眼睛無法看見的，因此，教學必須引導學生想象，把線段兩端無限延長下去，這樣的線是直線。第二，必須讓學生明白，這種無限長的線，數學上，我們采用“—”這樣的形式來表示。其實它是我們數學上的一種表示形式。和“8”代表八，“+”代表加號是一樣的。

2.不要過分推敲概念。

不少教師在教學中喜歡采用逆向思維去引導學生深入理解概念。就如，學習方程的概念后，教師會問：“判斷一個式子是否為方程，必須具備什么條件？”但是，這樣的方式在小學階段概念教學中，一要慎用，二要把握適當的度。小學數學中的概念大多數是描述式的，其要求是教學之后能夠識別、不會混淆、能夠運用就行了，過度推敲反而會導致學生思維混亂。

以“角”的概念為例。教材刻畫為：從一點引出的兩條射線所組成的圖形叫作角。如果按照前面的方式追問：判斷一個圖形是否是角，必須具備哪些條件？從而得出：一要從一點引出，二必須是兩條射線的結論。這樣辨析就出大問題了。筆者曾聽過一位教師上課，在給出一個角之后，再點上兩個點，把角的邊變成線段，讓學生判斷這個圖形是否是角。這樣的辨析，無論結論是什么，都造成了學生思維的混亂。事實上，生活中學生看到的角，其邊都是以線段出現的。定義角的邊是“射線”而不是“線段”，從某種意義上講，是為了避免對后續研究帶來不必要的麻煩。在這里，教師不經思索地設問，顯然是有害的，是需要避免的。

三、推陳出新，研究技能教學的新思路

“角的度量”單元，涉及“量角”“畫角”等不少操作技能方面的知識。而這些操作技能，又是學生比較難掌握的，這就給我們提出一個問題：技能教學，或許需要新的思路和對策，去提升學生的操作水平。

1. 做數學，讓技能教學內涵更豐富。

技能教學僅僅停留在技能的傳授和指導層面上是不夠的，而應當把它置身在一個探索、思考的“做數學”的過程中。與“做數學”的過程相伴的往往是這樣的活動：觀察、比較、辨析、解釋、調查、探索、預測、發現、研究、推理、驗證等。在這樣的活動中，“量角”“畫角”等技能，會成為“做數學”的一個結果而水到渠成般獲得。技能教學與做數學的結合，能改變技能教學低效的狀況。

2. 拓思路，讓技能教學品質更卓越。

除了“做數學”，還可以通過改變教學形式來提升學生的學習品質。教材中有很多有意義的素材，教師需要巧妙地采用各種方式，引導學生去理解、去討論，促進學生的數學素養的提升。教材第41頁“做一做”第2題，設計了大小相等但邊的長短不一的兩個角。其中一個角的邊由于畫得短無法讀出度數，這時教師往往告訴學生，把邊延長到透出量角器就可以了。事實上，這樣的素材，正是引導學生理解為什么生活中看到的角，它的邊都是線段，而角的定義偏偏要刻畫為從一點引出兩條“射線”的道理所在。教學應該善于抓住這樣的契機，開展質疑、辨析活動。

角的度量單元的教學，在備課的過程中，應該追本溯源，讓學生了解知識的起點，應該高屋建瓴，重視深刻領悟概念。應該站在學生的角度，站在聯系生活的角度，推陳出新，探索促進學生素養提升的新方法和新思路。

（作者單位：福建省廈門市第五中學小學部）endprint