創(chuàng)意平板折疊桌的模型分析與優(yōu)化設(shè)計

吳　婧　（西京學(xué)院，陜西　西安　710123）

創(chuàng)意平板折疊桌的模型分析與優(yōu)化設(shè)計

吳婧
（西京學(xué)院，陜西西安710123）

本文對創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計問題，應(yīng)用木結(jié)構(gòu)截面設(shè)計原則，通過建立桌面半徑、桌面長度、鋼筋位置相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，描述了折疊桌的動態(tài)變化過程。同時對折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（桌腿木條開槽的長度）和桌腳邊緣線進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。最后給出了合理的平板折疊桌設(shè)計參數(shù)。

桌面半徑；桌面長度；鋼筋位置；插值擬合

1　引言

創(chuàng)意平板折疊桌不但輕巧方便，而且美觀大方。創(chuàng)意平板折疊桌更注重于表達(dá)木質(zhì)品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強調(diào)的自動化與功能性。這種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，分別用兩根鋼筋貫穿兩側(cè)的木條，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。使兩者只需提起木板的兩側(cè)，便可以在重力的作用下達(dá)到自動升起的效果，桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀，相互對稱的木條宛如下垂的桌布。在設(shè)計折疊桌時如何確定其所需木板的最優(yōu)尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度格外重要。

本文對一長方形平板：長為120cm，寬為50cm，厚度為3cm，每根木條的寬為2.5cm，折疊后桌子的高度為53cm，且連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置。確定了其所需木板的最優(yōu)尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度；對桌腳邊緣線進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，同時描述了折疊桌的動態(tài)變化過程。

表1　各條桌腿的槽口長度

2　問題分析

在研究折疊桌確切圓的半徑時，我們假設(shè)兩種情況，即圓與已知平板內(nèi)切和圓與已知平板近似外接，但這兩種情況圓的半徑均不符合已知設(shè)計要求，通過建立合適的方程，我們在圓環(huán)的內(nèi)側(cè)尋找到最佳的半徑變化范圍，并在合理范圍內(nèi)選合適半徑。利用割線位置的變化依次對圓進(jìn)行割取，分別得到割線確切長度，因此求得每根桌腿木條的長度，通過鋼筋在不同狀態(tài)下在卡槽內(nèi)的位置不同以確定卡槽的長度。對于桌邊緣線的描繪我們以最外側(cè)桌腿木條中點（鋼筋點位置）為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，并確定鋼筋穿過位置的坐標(biāo)點和桌腿頂端坐標(biāo)點，通過各個桌腿與各坐標(biāo)軸的方向夾角確定了各個桌腿的方程，經(jīng)計算得出桌腿下端點坐標(biāo)，最終確定桌腳邊緣曲線。

本文所涉及到的符號作如下說明：x為一半的割線長度，z為半徑的變化范圍，M為內(nèi)力彎矩，l為長板總長，d為圓木壓彎構(gòu)件的截面，λ為構(gòu)件柔度，為歐拉荷載。

3　模型建立與求解

3.1桌面半徑的確定

假設(shè)圓內(nèi)切于長方形平板和外接于長方形平板，但這兩種假設(shè)條件下計算結(jié)果無法滿足桌子的高度，割線長度大小影響已知桌腿長度。假設(shè)模型如圖1所示。

而在圓環(huán)范圍內(nèi)存在我們想要的理想半徑，因此我們在圓環(huán)范圍內(nèi)尋找最佳的且最合適的圓半徑的變化范圍，并且建立恰當(dāng)?shù)挠嬎愎剑?.5（120-2x）＞50，x2/z+z=50+2z。整理得到：

z2+50z-100=0（1）

計算得到：z∈（0，1.9258）。因此合理的圓的半徑如圖2虛線圓所示，且割線長度可在x范圍內(nèi)適當(dāng)變化。

當(dāng)我們得到合理圓盤直徑時，將圓盤依次進(jìn)行割取得到相應(yīng)的割線長度2x，然后分別求出各桌腿長度。桌腿擺動的角度影響著桌腿木條開槽長度和桌腳邊緣線。

3.2桌腿長度和鋼筋位置的計算

我們利用已知第一根桌腿長度與第一個余端長度以及夾角，運用三者間存在的余弦定理，得到第二根桌腿頂端到卡槽底端長度，并求出第二根桌腿頂端到卡槽底端長度與第一個余端長度之間的夾角，即可依次求得各桌腿頂端到卡槽底端長度

其中ai為第i個桌腿頂端到卡槽底端長度（i=1，2，…，21），bj為第j根桌腿腿長（j=1，2，…，21）

cω為第ω個余端長度（ω=1，2，…，20）。當(dāng)平板長方形處于原始狀態(tài)時，鋼筋處于卡槽的最高處。當(dāng)折疊成工作狀態(tài)時，鋼筋處于卡槽的最低處（不考慮鋼筋與卡槽間扭矩力），將兩者做差值，我們便得到各個腿長合理的卡槽長度。卡槽長度見表1。

3.3桌腿底端邊緣方程建立

對于桌腳邊緣線的描繪我們以最外側(cè)桌腿木條中點（鋼筋點位置）為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系0xyz，坐標(biāo)系如圖3所示。

利用已知參數(shù)求得每根木條鋼筋位置的坐標(biāo)點，以及桌腿木條頂端端點坐標(biāo)點。將兩坐標(biāo)點對應(yīng)作差求出向量，利用各方向余弦夾角與向量的模確定該向量的空間位置。方向余弦公式如下：

用各桌腿的方程和已知數(shù)據(jù)確定了各桌腿空間位置方程，運用插值擬合算法得到了工作時桌子腿面的三維曲面圖。

設(shè)該桌腿邊緣位置方程為：

插值擬合計算出桌腳邊緣位置方程的系數(shù)a=4.53，b=-0.27，c=-12；方程次數(shù)為n1=1，n2=2，n3=1。

最后由各個桌腿的方程求得的坐標(biāo)點確定了桌腳邊緣曲線。邊緣曲線如圖5所示。

3.4桌腳邊緣曲線連續(xù)變化

我們通過不同角度下計算得到桌角位置數(shù)據(jù)，得到桌腳邊緣曲線連續(xù)變化三維曲面圖6。利用桌角位置數(shù)據(jù)，我們擬合得到桌腳邊緣曲線連續(xù)變化的曲面方程如下：

結(jié)語

本文建立了每條桌子腿的空間曲線方程，求得桌腿邊緣坐標(biāo)，通過插值擬合到了空間方程，確定了其所需長方形平板材料的大小和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。本文設(shè)計的產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。

[1]韓佳成，RobertVanEmbricqs.平板折疊邊桌[J].設(shè)計，2012（08）：23-24.

[2]陳載賦.建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計手冊[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，1994.

[3]任治章，王洪杰.確定木結(jié)構(gòu)壓彎構(gòu)件最佳截面尺寸的簡便方法[J].吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報，2002，19（01）：18-19.

基金項目：本文得到國家自然科學(xué)基金（61473237），西京學(xué)院科研基金項目（XJ130245，XJ130244，XJ140116）的資助。

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