對角修形斜齒輪徑向剃齒設(shè)計(jì)

蔣進(jìn)科，方宗德，彭先龍

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安）

對角修形斜齒輪徑向剃齒設(shè)計(jì)

蔣進(jìn)科，方宗德，彭先龍

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安）

為減小齒輪振動(dòng)與噪音，設(shè)計(jì)對角修形斜齒輪齒面，根據(jù)嚙合原理推導(dǎo)其徑向剃齒刀齒面；根據(jù)齒條展成漸開線齒面原理，結(jié)合Y7432平面砂輪磨齒機(jī)，建立有齒向平移運(yùn)動(dòng)的平面砂輪磨齒CNC模型；建立基于CNC機(jī)床各軸及砂輪軸向廓形敏感性分析的齒面修正模型，各軸運(yùn)動(dòng)用6階多項(xiàng)式表示，分析0階及1階系數(shù)變化對齒面誤差的影響；通過判斷砂輪與剃齒刀齒面的接觸狀態(tài)，確定磨削齒面的誤差，以誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法，得到機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)及砂輪軸向廓形參數(shù).結(jié)果表明:該算法計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定，降低了磨削誤差；對角修形斜齒輪的徑向剃齒刀拓?fù)湫扌吻婊緸辇X向反鼓形與對角修形曲面疊加；沿齒向方向的壓力角、展成運(yùn)動(dòng)角、螺旋角參數(shù)微調(diào)可分別實(shí)現(xiàn)一定的對角修形加工；砂輪增加齒向運(yùn)動(dòng)構(gòu)成3軸聯(lián)動(dòng)，減小了砂輪半徑，可用于磨削大螺旋角、大齒寬對角修形斜齒輪.

斜齒輪；對角修形；數(shù)控磨削；徑向剃齒；平面砂輪；敏感性分析；高階校正

斜齒輪對角修形主要用于減小嚙入嚙出沖擊和承載傳動(dòng)誤差，降低傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)與噪音［1］，與傳統(tǒng)的齒廓、齒向修形相比，可以保證齒輪副有較高重合度和接觸區(qū)寬度，提高了承載能力，對于提高航空、航海高速齒輪系統(tǒng)的性能有重要意義.

剃齒與磨齒是先進(jìn)的齒輪精加工工藝.通過剃齒、磨齒工藝可實(shí)現(xiàn)對角修形斜齒輪加工.國內(nèi)外學(xué)者對剃齒技術(shù)研究取得了一定成果，剃齒在汽車制造業(yè)中已得到了廣泛應(yīng)用.劉俐平等［2-4］介紹了徑向剃齒刀的齒形計(jì)算、刃磨及切削槽排列工藝.詹安東等［5］通過計(jì)算普通剃齒刀和齒輪之間齒面相對滑動(dòng)速度的變化及齒面誘導(dǎo)法曲率的變化，分析齒形中凹現(xiàn)象原因.王素玉等［6］通過解析計(jì)算對徑向剃齒的齒形中凹現(xiàn)象進(jìn)行了分析.王憲法［7］將平面砂輪修整成外錐面，磨削徑向剃齒刀，實(shí)現(xiàn)了窄斜齒輪對角修形加工，但方法尚未公開.為了減小振動(dòng)與噪音，F(xiàn)uentes、Litvin等［8-9］分別設(shè)計(jì)加工修形漸開線圓柱齒輪的徑向剃齒刀、軸向剃齒刀，并進(jìn)行齒面接觸分析（tooth contact analysis，TCA）仿真.

隨著三坐標(biāo)測量技術(shù)及多軸數(shù)控技術(shù)的發(fā)展，對輪齒精度要求越來越高，上述傳統(tǒng)的剃齒刀齒面設(shè)計(jì)方法需要改進(jìn).

Free-Form型數(shù)控機(jī)床及基于三坐標(biāo)測量的齒形拓?fù)湔`差技術(shù)，曾應(yīng)用于螺旋齒錐齒輪等復(fù)雜齒面的加工及檢測，現(xiàn)已被借鑒應(yīng)用于圓柱齒輪.Liu等［10］通過分步優(yōu)化錐面砂輪錐角及砂輪軸向廓型，磨削徑向剃齒刀，加工拓?fù)湫扌螆A柱齒輪；Hsu等［11-14］分析錐面砂輪參數(shù)及其安裝參數(shù)對徑向剃齒刀齒形拓?fù)湔`差影響；此外，對徑向剃齒刀切削的平穩(wěn)性以及刀槽設(shè)計(jì)進(jìn)行了優(yōu)化與分析，還分析了軸向剃齒加工鼓形齒時(shí)，機(jī)床附加鼓形機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與工件鼓形量關(guān)系.Radzevich［15-16］根據(jù)工件拓?fù)湫扌锡X面，通過一種改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，進(jìn)行徑向剃齒刀拓?fù)湫扌锡X面計(jì)算；并將該改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法應(yīng)用于成形砂輪磨削拓?fù)湫扌螐较蛱挲X刀時(shí)的砂輪軸向廓形參數(shù)計(jì)算，但該方法具體不詳.秦傲然等［17］給出了徑向剃齒刀齒數(shù)的計(jì)算公式、切削刃排列方式，總結(jié)了軸交角的選取與加工質(zhì)量之間的關(guān)系.王沁等［18］通過優(yōu)化徑向剃齒刀拓?fù)湫扌锡X面離散點(diǎn)的誤差最小得到磨削剃齒刀的錐面砂輪安裝參數(shù).Shih等［19］提出一種5軸聯(lián)動(dòng)圓柱齒輪成形磨齒高階校正技術(shù)，建立基于5軸運(yùn)動(dòng)及砂輪軸向廓型的齒面誤差敏感性分析方程組，通過最小二乘法獲得機(jī)床各軸及砂輪廓型參數(shù)，其關(guān)鍵技術(shù)是齒面誤差敏感矩陣的計(jì)算及超定方程組求解，但實(shí)際上對于高精度圓柱齒輪，隨著三坐標(biāo)測量齒面網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)的增加，該方程組的高度病態(tài)，其求解精度降低，工程應(yīng)用受限.蔣進(jìn)科、方宗德等［20-22］曾對基于敏感矩陣的多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨齒求解方法進(jìn)行了一定的仿真研究，主要是針對鼓形齒或可解析表達(dá)法向修形曲面的圓柱齒輪.然而，徑向剃齒刀齒面是一個(gè)中凹的扭曲雙曲面，對于加工對角修形斜齒輪齒面的徑向剃齒刀，其齒面更為復(fù)雜，必須要建立基于齒面坐標(biāo)測量的徑向剃齒刀修形齒面模型與多軸數(shù)控高階磨齒加工模型，為徑向剃齒設(shè)計(jì)與制造提供理論依據(jù).

為此本文設(shè)計(jì)小輪對角修形齒面，求解其徑向剃齒刀拓?fù)湫扌瘟浚唤Y(jié)合Y7432平面砂輪磨齒機(jī)，建立平面砂輪磨齒CNC模型及修形砂輪軸向廓型和各軸6階多項(xiàng)式的齒面修正模型，對文獻(xiàn)［19］中的求解方法進(jìn)行改進(jìn)，通過粒子群（particle swarm optimization，PSO）優(yōu)化方法，得到各軸運(yùn)動(dòng)參數(shù)及砂輪參數(shù)，有效降低了磨削誤差.該方法可用于磨削對角修形斜齒輪徑向剃齒刀及對角修形斜齒輪，磨削剃齒刀時(shí)，砂輪固定，進(jìn)行2軸聯(lián)動(dòng)高階校正；磨削斜齒輪時(shí)，砂輪增加齒向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行3軸聯(lián)動(dòng)高階校正.

1 對角修形斜齒輪設(shè)計(jì)及徑向剃齒刀拓?fù)湫扌吻嬗?jì)算

1.1 對角修形齒面設(shè)計(jì)

斜齒輪對角修形區(qū)域見圖1，僅對嚙入嚙出端進(jìn)行修形，中間部分不修或者少修，修形區(qū)域?yàn)椤鱝bc和△def，Ⅰ為沿接觸線上修形量相等，Ⅱ?yàn)檠亟佑|線修形量不相等.修形齒面位矢與法矢為

圖1 對角修形區(qū)域示意

式中:R1、n1分別為小輪理論齒面位矢、單位法矢，R1r、n1r分別為小輪修形齒面位矢，法矢；δ為修形量，u1、l1分別為漸開線齒面參數(shù).

對角修形曲面設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是確定修形量，修形量的大小與齒輪承受的載荷及齒輪的誤差有關(guān)，理想的修形量是齒輪在進(jìn)入嚙合時(shí)沒有沖擊，平穩(wěn)接觸，具體方法見文獻(xiàn)［23］.

1.2 徑向剃齒刀拓?fù)湫扌吻嬗?jì)算

徑向剃齒的加工近似于一對相錯(cuò)軸漸開線圓柱齒輪傳動(dòng)，剃齒刀螺旋角與工件的螺旋角形成一個(gè)軸交角如圖2所示，僅沿工件徑向方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，剃齒刀齒面是與工件漸開線螺旋面做交錯(cuò)軸嚙合的共軛齒面，根據(jù)微分幾何求解包絡(luò)面如下所示:

式中:θ1為工件轉(zhuǎn)角，θs=iθ1為剃齒刀轉(zhuǎn)角，i為傳動(dòng)比；Sf、S1分別為工件參考、運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系；St、Ss分別為剃齒刀參考、運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系；Mst、Mtf、Mf1、Lst、Ltf、Lf1分別為從工件齒面到剃齒刀齒面位矢及法矢變換矩陣.

徑向剃齒刀齒面雖然已經(jīng)不是漸開線螺旋面，但與理論漸開線螺旋面僅差幾十μm，其法向修形量表示為

圖2 徑向剃齒安裝坐標(biāo)系

2 平面砂輪CNC磨齒模型及機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

2.1 平面砂輪CNC磨齒模型

如圖3（a）所示，為了可以磨削大螺旋角、大齒寬斜齒輪且不至于劃傷齒根，平面砂輪模擬齒條且可以沿齒向平移運(yùn)動(dòng)如圖3（b）所示，砂輪展成漸開線齒面表示為

式中:rw（uw，φw）為砂輪位矢，uw、φw為砂輪參數(shù)，Rw為外徑參數(shù)，θw、aw、dw為砂輪軸向廓形修形量δw的參數(shù)；Sf、S1分別為工件參考、運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，原點(diǎn)在工件齒寬中部，回轉(zhuǎn)軸為x軸；Sw、Sc為平面砂輪運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系及參考坐標(biāo)系；Sa，Sb分別為分度圓螺旋角β與法向壓力角αn的參考坐標(biāo)系；φ1為工件展成角，M1a、Mab、Mbc、Mcw為從砂輪到齒面的變換矩陣，圖3（b）中Cs為砂輪沿齒條齒向運(yùn)動(dòng)速度常參數(shù).

結(jié)合Y7432磨齒機(jī)，建立圖3（c）所示數(shù)控機(jī)床模型，其坐標(biāo)系如圖3（d）所示，根據(jù)齒輪嚙合原理，考慮到平面砂輪邊界，磨削后的齒面位矢:

圖3 平面砂輪CNC磨齒坐標(biāo)系

從傳統(tǒng)型機(jī)床向Free-Form型機(jī)床的運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)換原則是保證刀具與工件的相對位置和姿態(tài)在任意時(shí)刻都相同，即 （R1=R），通過式（1）～（2）得

式中:rj為工件節(jié)圓半徑；rf為砂輪有效工作面外徑至工件軸的距離；mn為工件法向模數(shù)；C（k=x、y、z、a、b、c）為各軸運(yùn)動(dòng)表達(dá)式（理論齒面），可見砂輪沿齒向運(yùn)動(dòng)分解在展成運(yùn)動(dòng)軸及軸向運(yùn)動(dòng)軸上，當(dāng)Cs=0表示砂輪固定.

2.2 平面砂輪最小半徑計(jì)算

平面砂輪與斜齒輪或徑向剃齒刀瞬時(shí)接觸線為直線.

1）磨削斜齒輪時(shí)，砂輪沿齒向運(yùn)動(dòng)，為了不至于劃傷齒根，其有效外徑應(yīng)徑向進(jìn)給到工件過度曲線，且不小于最長的瞬時(shí)接觸線長度ls，如圖3（b）所示，且

2）磨削剃齒刀時(shí)，砂輪通常固定，因此其直徑應(yīng)大于法向齒寬:

修形曲面是微調(diào)加工理論齒面各軸運(yùn)動(dòng)及砂輪軸向廓形參數(shù)的結(jié)果，選取理論展成角φ1為各軸之間的聯(lián)系參數(shù)，實(shí)際加工中φ1為時(shí)間的線性函數(shù)，最高次數(shù)6階，修形曲面表示為

即

其中:ζ為各軸運(yùn)動(dòng)參數(shù)系數(shù) ζj（j= 1，…，q，q= 6×7+3= 45即a0x、a1x、…、a5c、a6c、θw、aw及dw）組成的列向量；S為齒面敏感矩陣，由網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)i（i=1，…，p，p為齒面網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，取5×9=45）處各軸敏感系數(shù)組成的行向量Si構(gòu)成；δ（ui，θi）為齒面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)i處修形量，通過對角修形曲面得到.

2.3 機(jī)床運(yùn)動(dòng)各軸參數(shù)求解

通過PSO優(yōu)化算法［24］求解式（4）超定線性方程組，可得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)及平面砂輪修形參數(shù).徑向剃齒刀磨削屬于減材料（Ease-Off）加工，因此對砂輪是否與齒面接觸做出判斷:Siζ＜0表示平面砂輪嵌入刀具i點(diǎn)進(jìn)行磨削；Siζ≥0表示砂輪遠(yuǎn)離刀具i點(diǎn)進(jìn)行磨削；以設(shè)計(jì)變量為ζi（i= 1，…，q），刀具齒面磨削誤差平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)，即

由圖5可知，修正前，研究區(qū)熱水中文石、方解石、白云石均處于過飽和狀態(tài)，白云石隨溫度升高，有向非飽和區(qū)過渡的趨勢，石英及玉髓均處于非飽和狀態(tài)；修正后，研究區(qū)熱水中礦物收斂于一個(gè)較小的范圍內(nèi)，由圖可知，ZGJ02收斂于121.6 ℃～137.7 ℃的溫度區(qū)間，ZGJ04收斂于165.4 ℃～183.6 ℃的溫度區(qū)間。

磨削后的剃齒刀法向修形量、加工誤差及各軸附加運(yùn)動(dòng)為

其中:δC、Δδ、ΔCk為CNC磨削修形量、誤差及各軸運(yùn)附加運(yùn)動(dòng)量，Ck、C為CNC加工修形齒面與理論齒面的各軸運(yùn)動(dòng)曲線，n為理論齒面單位法矢量.

3 算例與分析

標(biāo)準(zhǔn)安裝的工件、刀具參數(shù)見表1，取K1= K2=0，理論計(jì)算的剃齒刀在齒寬范圍內(nèi)接觸線長度為75.3 mm.hs=2 mm時(shí)，砂輪無齒向運(yùn)動(dòng)，即Cs=0時(shí)，Rw＞320 mm；當(dāng)砂輪沿齒向運(yùn)動(dòng)，且Cs=-8時(shí)，Rw＞230 mm.仿真分析如下.

表1 工件、剃齒刀基本參數(shù)

3.1 剃齒刀齒面驗(yàn)證

表2為以文獻(xiàn)［10、11］參數(shù)為例，砂輪不同安裝參數(shù)時(shí)，磨削的徑向剃齒刀理論齒面的修形量.

表2 平面砂輪錐底角、安裝壓力角及節(jié)圓半徑對徑向剃齒刀齒面修形量影響

標(biāo)準(zhǔn)安裝的剃齒刀理論齒面為反鼓扭曲面（見（a1）），調(diào)節(jié)砂輪錐底角等于安裝壓力角后，可實(shí)現(xiàn)漸開線齒面的齒向修形（見（a2）），其與剃齒刀理論齒面誤差（見（a3））與文獻(xiàn)11中圖1結(jié)果一致；

非標(biāo)準(zhǔn)安裝的剃齒刀理論齒面主要為齒廓修形（見（b1）），調(diào)節(jié)砂輪錐底角與安裝壓力角后，磨削的漸開線齒面修形量見（b2），其與剃齒刀理論齒面誤差（見（b3））與文獻(xiàn) 10中圖10結(jié)果一致.

3.2 敏感性分析

文中僅列出部分軸的擾動(dòng)誤差，用于剃齒對角修形齒面的附加運(yùn)動(dòng)分析.

壓力角（Ca）、展成運(yùn)動(dòng)（Cc）1階系數(shù)變化產(chǎn)生嚙入端或嚙出端對角修形（見表3（a3）、（a4）、（b3）、（b4）），其2階系數(shù)即拋物線變化將導(dǎo)致嚙入端與嚙出端對角修形；

砂輪錐底角、軸向廓型變化產(chǎn)生齒廓、齒向修形（見表3（c1）、（c2）、（c3）、（c4）），當(dāng)砂輪安裝壓力角修正量等于砂輪錐底角時(shí)，則表現(xiàn)為齒向校正（見（c2））.

3.3 機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析

考慮到剃齒刀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及機(jī)床實(shí)際運(yùn)動(dòng)，取Cs=0，Rw=350 mm，除了展成運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行高階校正，其余軸僅進(jìn)行0階校正.某工況下斜齒輪對角修形曲面見圖4（a）.根據(jù)嚙合原理，用徑向剃齒刀剃削工件屬于二次包絡(luò)，不希望工件上出現(xiàn)嚙合界限，通過TCA分析可知，接觸線布滿整個(gè)工件齒面（見圖4（b）），剃齒效果將為良好；該對角修形斜齒輪反算的剃齒刀齒形修形量基本特征為:齒向反鼓形與對角修形曲面疊加，圖4（c1）為剃齒刀齒面比標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒面多出的部分，圖4（c2）為留有余量的標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒面應(yīng)該去除掉的材料；優(yōu)化后的解在200代后趨于穩(wěn)定 （見圖4（d）），其中，CNC磨削后的修形曲面較為光滑（見圖4（e）），磨削誤差＜2 μm（見圖4（f））；各軸附加運(yùn)動(dòng)（見圖4（g））:Cx、Cy、Cz、Cb基本趨于0，表明對角修形主要由其他2個(gè)軸及修形砂輪錐底角完成加工；Ca變化為0階、其中0階系數(shù)變化引起齒厚校正見表3（a2）；將Cc變化向下平移（忽略齒厚校正，因?yàn)槭窃诹粲旋X厚余量的漸開線齒面進(jìn)行材料分析），則實(shí)際展成角數(shù)值上總是滯后理論展成角，即砂輪遠(yuǎn)離嚙入（見表3 （b4））、嚙出端（見表3（b3）），因此ΔCc變化表明剃齒刀嚙入、嚙出端去除材料較少，其他部位去除材料較多，與剃齒刀修形曲面特征基本一致，各軸運(yùn)動(dòng)曲線如表4，徑向剃齒修形曲面主要為0階校正及1階校正.

圖4 平面砂輪CNC磨削對角修形斜齒輪徑向剃齒刀齒面優(yōu)化結(jié)果

表3 砂輪軸向廓型及機(jī)床各軸0階、1階誤差引起法向偏差（減材料分析）

表4 C N C機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)及砂輪軸向廓型曲線

4 結(jié) 論

1）設(shè)計(jì)對角修形斜齒輪齒面（工件），推導(dǎo)徑向剃齒刀齒面，結(jié)合Y7432磨齒機(jī)，建立有齒向平移運(yùn)動(dòng)的平面砂輪磨齒CNC模型.

2）建立基于修形平面砂輪軸向廓形和各軸6階校正的齒面敏感性分析校正模型，通過優(yōu)化方法，得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)及砂輪廓形參數(shù)，有效降低了磨削誤差；展成角、壓力角及螺旋角微調(diào)可實(shí)現(xiàn)斜齒輪齒面一定的對角修形.

3）對角修形斜齒輪徑向剃齒刀齒面基本為齒向反鼓形與對角修形曲面疊加的復(fù)雜曲面，可通過修正砂輪錐角、機(jī)床壓力角及展成運(yùn)動(dòng)進(jìn)行磨齒校正.砂輪增加齒向運(yùn)動(dòng)構(gòu)成3軸聯(lián)動(dòng)，減小了平面砂輪半徑，可應(yīng)用于Y7432磨齒機(jī)3軸聯(lián)動(dòng)CNC再制造，磨削大螺旋角、大齒寬對角修形斜齒輪.

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（編輯 楊 波）

Grinding plunge shaving cutter for diagonal modified helical gears

JIANG Jinke，F(xiàn)ANG Zongde，PENG Xianlong
（School of Mechaincal Engineering，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi'an，China）

An approach based on CNC grinding machine of plunge shaving cutter for diagonal modified helical gear was proposed to reduce grinding errors and improve meshing performance.Firstly，the corresponding plunge shaving cutter surfaces for the diagonal modified helical pinion was established based on gear theory.Secondly，a free-form flank topographic correction method based on Y7432 grinding machine，with flat wheel translated along normal sections of invented rack-cutter，was established according to principle of rack-cutter generating involute pinion.Thirdly，an error correction model based on a sensitivity analysis was determined，each axis of the machine was formulated as a six-degree polynomial and a disturbed polynomial coefficient on the topographic flank errors was developed by estimating whether the wheel contacted with the pinion.Finally，using minimum squared error as the objective function to get the smallest grind errors，the PSO optimization algorithm was introduced to solve equations of the corrections，and the polynomial coefficients were ascertained.The result shows that the methods can effectively reduce the grinding error，and the topologically modified tooth for plunge cutter can be represented by sum of longitudinal and diagonal deviations surface.The slight variations in pressure angle and generating angle and helix angle can attain some specific diagonal modified tooth respectively，besides，the diagonal modified helical gear with big size and helix angle can then be efficiently ground by slightly adjusting three-axis movement with a smaller translating flat wheel.

helical gear；diagonal modified；computer numerical control（CNC）grinding；plunge shaving；flat wheel；sensitivity analysis；higher-order correction.

TH133

A

0367-6234（2015）05-0063-08

10.11918/j.issn.0367-6234.2015.05.011

2014-01-10.

國家自然科學(xué)基金（51175423，51375384）.

蔣進(jìn)科（1981—），男，博士研究生；

方宗德（1948—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

方宗德，fauto@nwpu.edu.cn.