水下滑翔機李雅普諾夫穩定性分析

趙寶強，王曉浩，姚寶恒，連璉

(1.中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064;2.清華大學 精密儀器系，北京100084;3.上海交通大學船舶與海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

水下滑翔機通過改變自身重心相對于浮心的位置和凈重力的大小來驅動滑翔機在水下的運動，它通過調節尾舵舵角或改變橫滾姿態實現轉向，現有水下滑翔機能以0.25 m/s的速度航行上千千米，航行時間可達數月［1-2］，同時其成本低，噪音小等優點使得水下滑翔機具有廣闊的應用前景［3-4］。Leonard等人對水下滑翔器的穩定性進行了相應的研究［5-9］，但其主要研究滑翔機的穩定性判據，沒有針對具體滑翔機進行分析，并且沒有分析具體設計參數(初穩性高)和控制參數(姿態調節控制量)變化對穩定性的影響。武建國［10］分析水下滑翔機的靜穩定性。本文將已建立的水下滑翔機一般數學模型應用于具體的實際水下滑翔機上，在此基礎上將模型線性化，結合李雅普諾夫穩定性第一定理和第二定理分析出水下滑翔機穩定性隨設計參數(初穩性高)和控制參數(姿態調節控制量)變化的規律。

1 動力學模型

本文涉及的水下滑翔機原理樣機內部結構如圖1。

圖1 水下滑翔機原理樣機內部結構Fig.1 Underwater glider prototype internal structure

該樣機可以被認為是5個具有獨立自由度質量塊的組合，分別為平移質量塊、旋轉質量塊、補償質量塊、壓載質量塊和均布質量。如圖2所示。建立固連于原理樣機的體坐標系，以浮心坐標為原點，e1軸沿滑翔機縱軸指向艏部;e2軸垂直于e1軸指向右側機翼;e3軸垂直于e1軸和e2軸鉛垂向下。

圖2 水下滑翔機原理樣機模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of underwater glider model

水下滑翔器的總質量mv為

式中:mh為固定質量，包括耐壓殼體、控制系統等非運動部件質量，在體坐標系下其質心為rh;mb為壓載質量塊，即浮力驅動系統，忽略其質心的變化，在體坐標系下其質心為rb;mw為補償質量塊;設計階段調整該質量塊位置使水下滑翔機在初始狀態下重心在浮心正下方一定距離即初始穩性高h0，然后使其固定，在體坐標系下其質心為rw;mm為平移質量塊;用于調節俯仰角，在體坐標系下其質心，rm2=0。rm0為平移質量塊初始位置，xm為平移質量塊移動距離;mv為旋轉質量塊;mr用于調節翻滾角，實現轉彎功能，在體坐標系下其質心，式中rr2=rsin δ，rr3-rcos δ，r為偏心距，δ為旋轉質量塊向右側偏轉角度。

在體坐標系下，水下滑翔器的質心rv為

可移動質量塊為平移質量塊和旋轉質量塊，其質心rp由平移質量塊質心rm和旋轉質量塊質心rr決定:

2 穩定性分析

水下機器人的運動穩定性是指受到小干擾后，受擾的運動參數能否自行回到初始運動狀態的能力。水下滑翔機一般要求在開環控制下具有穩定性。

2.1 穩性高

船舶的穩定性與穩性高有很大關系，對于水下滑翔機，受到擾動后穩性高影響滑翔機恢復力矩的大小，從而影響定常運動的穩定性。定義水下滑翔機重心與浮心在重力方向上的距離為穩性高:

式中，R是由歐拉角描述的坐標轉換矩陣［11］。其中俯仰角θ，翻滾角φ滿足:

圖3 穩性高與初穩性高的關系Fig.3 The relationship between initial metacentric height and metacentric height

圖4 穩性高與姿態調節兩個控制參數之間的關系Fig.4 The relationship between attitude adjustment parameters and metacentric height

可以看出，穩性高是由設計參數初始穩性高和姿態調節系統的2個控制參數(平移質量塊移動距離rrm和旋轉質量塊旋轉角度δ)決定的。它們之間的關系如圖3、4所示。

分別變化這3個參數，得到不同的線性方程利用李雅普諾夫穩定性第一定理(A矩陣特征方程所有根均具有負實部)和第二定理(滿足李雅普諾夫方程的正定實對稱矩陣P各階主子行列式為正)［12］判斷滑翔機的穩定性。在仿真過程中，發現二維運動的穩定性并不能保證三維運動的穩定性。三維定常運動的穩定性受控制參數和設計參數的影響，只有在一定范圍內才具有穩定性。所以下節分別對水下滑翔機的兩種定常運動［15］(直線定常運動和螺旋定常運動)分析。

2.2 初始穩性高對穩定性的影響

2.2.1 直線定常運動

設置滑翔機的控制參數xm=41.36 mm，δ=0°，初始穩性高在0～11 mm變化，利用Lyapunov第一定理得到的線性方程各特征值實部隨穩性高的變化如圖5所示，從圖中可以看出在直線定常運動中當穩性高小于-3.6 mm時系統開始不穩定，所以對照圖4(a)，為保證直線定常運動的穩定性，在設計時初穩性高最小為0.85 mm。

圖5 初穩性高變化時直線運動穩定性隨穩性高變化關系Fig.5 Relationship between stability of linear steady motion and metacentric height when initial metacentric varies

2.2.2 螺旋定常運動

設置δ=30°，初穩性高h0在0～11 mm變化，同理得到的結果如圖6所示。

圖6 初穩性高變化時螺旋運動穩定性隨穩性高變化關系Fig.6 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when initial metacentric varies

從圖中可以看出在螺旋定常運動中當穩性高小于-3.8 mm時有特征值實部大于0，系統開始不穩定，這一結論與Bhatta［9］得到的結果基本吻合。所以對照圖3，為保證螺旋定常運動的穩定性，在設計時初穩性高最小為 0.5 mm。

圖7 平移質量塊移動時直線定常運動穩定性隨穩性高變化關系Fig.7 Relationship between stability of linear steady motion and metacentric height when the moving mass moves

2.3 平移塊移動距離對穩定性的影響

2.3.1 直線定常運動

設置滑翔機的控制參數h0=5，平移塊移動距離xm在控制范圍20～100 mm之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩性高的變化如圖8所示。

圖8 平移質量塊移動時螺旋定常運動穩定性隨穩性高變化關系Fig.8 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when moving mass moves

從圖中可以看出小于-4.8 mm時系統開始不穩定，所以為保證穩定，在直線運動中需要控制平移塊移動距離xm在89 mm范圍內。

2.3.2 螺旋定常運動

設置滑翔機的控制參數δ=30°，平移塊移動距離xm在控制范圍30～80 mm之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩性高的變化和利用李雅普諾夫第二方法得到的P矩陣的各階主子行列式隨穩性高的變化如圖7所示，從圖中可以看出線性方程各特征值實部均小于零，P矩陣正定，所以xm在控制范圍30～80 mm內系統保持穩定。

2.4 旋轉塊旋轉角度對穩定性的影響

設置滑翔機的控制參數xm=41.36 mm，mc=0.222 3 kg，h0=5。旋轉塊旋轉角度δ在控制范圍之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩性高的變化和利用李雅普諾夫第二方法得到的P矩陣的各階主子行列式隨穩性高的變化如圖9所示，從圖中可以看出線性方程各特征值實部均小于零，P矩陣正定，所以在控制范圍內系統保持穩定。

圖9 旋轉質量塊轉動時螺旋定常運動穩定性隨穩性高變化關系Fig.9 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when rotating mass rotates

4 結束語

本文將已建立的水下滑翔機一般數學模型應用于具體的實際水下滑翔機上，在此基礎上將模型線性化，結合李雅普諾夫穩定性第一定理和第二定理分析出水下滑翔機直線定常運動和螺旋定常運動穩定性隨設計參數(初穩性高)和控制參數(姿態調節控制量)變化而變化的規律。得到了為保持系統動態穩定，得到在特定條件下，為保持水下滑翔機穩定的條件是初穩性高大于0.85 mm，平移塊移動距離在89 mm范圍內，旋轉質量塊對穩定性影響很小。在控制范圍內穩定性良好。

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