“莫比烏斯帶”讓學生體驗數學的樂趣

胡志賓

“知之者不如樂知者，樂知者不如好知者。”帶著好奇，我接觸了“莫比烏斯帶”，就是將一個長方形的紙條，一端扭轉180度，再將兩端粘貼起來。莫比烏斯帶的發現，為拓撲學的形成和發展奠定了基礎，而拓撲學正是現代數學的基礎。

大量的資料查閱，拉近了我與“莫比烏斯帶”的距離。為了讓學生也能感受到它的神奇，我們一起在課堂上進行了實踐。

我請孩子們將長方形紙條兩端對接起來，孩子們都做成了普通圓環，我卻做成了特殊的紙環——莫比烏斯帶。這兩種不同的對接方式，引起了孩子們的關注。教材主題圖中兩只螞蟻的不同境遇更是引起孩子們的深思，一只紙環外的螞蟻只能望著內壁的面包屑焦急無助，另一只紙環外的螞蟻卻如愿以償地吃到了內壁的面包屑。原來，紙環做法的不同，造就了不同的結果。意外的發現，讓孩子們更愿意學習“制作神奇的帶子”。在制作的過程中，通過小組合作感受它具有的一個面一條邊的神奇特性。之后，關于“莫比烏斯帶”由來的小故事更激起了孩子們研究的熱情。接著，我們共同進入了“流連奇妙的魔幻世界”環節。我們首先研究了沿面的1/2線剪開會是什么樣。孩子們猜測著。接著，孩子們充分發揮想象力進行“創造性地剪”。而這一個小的環節，卻讓很多學生手足無措。沿面的1/2線一直剪下去成了絕大多數學生的選擇，作品也便成了毫無頭緒的一個紙團。這讓我不由得深思問題出在什么地方。

因了解才能對癥下藥，我進行了學情調研。先讓被調研的孩子將長方形紙條兩端對接粘貼起來，絕大多數同學都將長方形紙條兩端直接對接粘貼，形成了一個圓環。僅有極個別同學將紙條粘貼成“莫比烏斯帶”，卻是一知半解。接著，讓孩子拿著“莫比烏斯帶”觀察提問，思考準備研究什么問題。調研中，學生提出了關于面、邊以及它的歷史和用途等各種希望研究的問題。最后，調研了除了沿面1/2線剪開，還能怎樣創造性地剪？沿面的1/2線一直剪下去這樣的思維定勢依然禁錮著孩子們的思想。看著孩子們無從下手地不知從什么角度開始研究，看著孩子們提的問題雜亂無章，看著孩子們一條路走到底的思維定勢，數學綜合實踐課應該給予學生什么成為迫切需要明確的問題。

數學綜合實踐課的學習中學生才是最絢麗的舞者。這樣的思想使我對“莫比烏斯帶”的教學進行了重新設計。課程伊始，“步入奇妙的魔幻世界”環節中，我讓將長方形紙條粘貼成“莫比烏斯帶”的學生滔滔不絕地向同學介紹他那饒有創意的作品。孩子們贊同地接受著這個新鮮的事物，并嘗試著制作。面對前后兩個不同做法制作的圓環和“莫比烏斯帶”，孩子們提出了自己的疑問：“圓環和莫比烏斯帶有什么不同？”“為什么圓環有1個面，莫比烏斯帶有2個面？”“還有什么方法做出各種神奇的帶子？”“莫比烏斯帶有什么用？”面對雜亂的提問，有的學生提出要歸類整理一下，提高解決問題的效率。還有的學生提出，只有先了解“莫比烏斯帶”，才能知道它的作用。接著，孩子們輕而易舉地用畫線、涂色或手指移動的方法證實了“莫比烏斯帶”只有一個面一條邊的特性。有的同學更有創意性地將圓環和“莫比烏斯帶”展開觀察，發現圓環要兩種顏色才能描畫完兩條邊，“莫比烏斯帶”一種顏色便可以描畫完全。孩子們思維的延展性真是讓我刮目相看。“流連奇妙的魔幻世界”環節中，近景魔術的表演更是讓孩子們饒有興趣地觀察著沿面1/3線剪開后的結果，大家都期待著見證奇跡的那一刻。孩子們躍躍欲試，動手實踐著。只聽有人咕噥著：“我怎么得到的是1個2倍長雙側曲面啊？”那邊忽然又響起：“我知道了，老師是沿面的1/3線剪開的，不是沿面的1/2線剪開的。”近景魔術的秘密就這樣被孩子們揭穿了。還有同學提出沿面1/4線剪開、1/5線剪開，一直無法突破的瓶頸，就這樣被突破了。“創造奇妙的魔幻世界”環節中，孩子們提出可以利用“莫比烏斯帶”的原理做個跑道。我驚訝于孩子們的想法，我相信孩子們會將更多的數學知識應用到生活中。

數學綜合實踐課是一種富有時代精神的課程形式，它更重視學生主動建模的過程，更關注學生發現、提出問題的能力，更提倡小組合作、動手實踐獲得真知灼見的過程，更體現數學與生活的密切聯系、與各學科知識的整合。

“莫比烏斯帶”常被認為是無窮大符號“∞”的創意來源。然而，學生的創意也是無窮大的。數學綜合實踐課的學習中，教師要給予學生這樣的空間，讓他們體會到玩轉數學的樂趣。

編輯 汪倩