高超聲速流固耦合界面信息傳遞方法

張曉瑩　陳宏業

摘 要：單一學科已經很難滿足結構可靠性和安全性的要求，流固耦合分析必須解決耦合界面信息傳遞問題。本文使用徑向基函數插值法很好的完成了數據傳遞，這一整套方法可廣泛應用于大型的流固耦合問題分析中。

關鍵詞：流固耦合；數據傳遞；徑向基函數

目前，流固耦合問題在工程領域中大多分別對流域和固體域分析，計算流體動力學（CFD）分析軟件和計算結構動力學（CSD）軟件之間信息傳遞是這類問題求解的關鍵，而流固不匹配網格給數據傳遞帶來了困難。在實際計算中，空氣動力學計算網格從表面延伸到空間相對長度足夠大處，且在固定表面斜率較大處，需要增加網格的密度。然而，有限元結構網格分散在整個結構空間中，為了導出所需的整體剛度系數，在剛體表面盡可能的控制好網格密度。由此可以看出，為了實現空氣動力與結構耦合計算，重要的是尋找一種高品質的插值方法計實現兩網格系統的數據交換。

在耦合分析過程中，結構網格和氣動網格之間存在載荷、位移、溫度、熱流、流速等的數值交換。流固耦合數值傳遞方法通常可分為局部插值法和的整體插值法。其中常見的局部插值法有常體積轉換法[1]、加權余量法[2]、映射點插值法[3]等；常見的整體插值法有樣條函數法[4]、Shepard方法[5]等。

1 徑向基函數插值法

1.1 徑向基函數

在實際的項目工程中，被描述的對象通常用函數來定量化表示，而和對象之間的關系可以用方程來表示。如何使用適當的函數來描述實際的對象并計算這些方程為應用數學工程的重要任務。當使用函數描述實際對象時，首先需要一個函數空間。通常采用正余弦、指數或多項式函數空間可以逼近幾乎所有的映射關系，其映射功能十分強大。

一般選用高斯函數作為基函數，徑向基函數空間：給定一個一元函數：xRφ∈，在定義域dxR∈上，對于多變量輸入也可以使用函數φ；RBF函數徑向對稱且光滑性能好，任意階導數均存在。

其中，X是m維輸入向量12（，，）mXXXX=...，iC是i第個徑向基函數的中心，M是隱層單元的個數，||||iXC.是歐式范數，通常表示輸入向量和中心之間的距離，隨著||||iXC.的增大，與中心距離加大，函數值變小，說明對與中心越遠的點，對函數影響越小，所以擬合函數更具有光滑性。容易看出，輸入點離隱元的中心越近，獲得的輸出也越大。

σ決定了該基函數圍繞中心的寬度，為使高斯函數形狀適度，通常采用以下公式計算：

2mdmσ= （1.2）

md是所選中心的最大距離。

1.2 計算耦合矩陣

將模型表面進行網格劃分，各節點需要傳遞的物理量為（，，）sxyz，其中（1，2）jSj=...為耦合界面各節點物理量歸一化處理的結果。假設以上曲面為流固耦合界面，為了求出新建網格各節點的物理值為（1，2）jSj=...，需要推導出耦合矩陣，即為將數據從流體域傳遞到固體域時所需要的耦合矩陣。

2 流固界面數據傳遞

2.1 耦合界面信息傳遞原理

CFD和CSD之間的數據交換必須遵循一定的原則。主要歸納了以下兩個個基本原則。

（1） 動力連續性

接觸界面要滿足力的守恒，耦合界面上任一點分別對應流體域和固體域的力平衡：

fxsxsyfyszfzσσσσσσ........=............ （2.1）

上式中，z sxsysσσσ為固體域上任一點在耦合邊界上沿xyz、、方向的應力分量； fxfyfzσσσ為流體域上任一點在耦合邊界上沿xyz、、方向的應力分量。

（2）位移和速度連續性

流固界面上流體、固體對應點位移、速度和溫度的一致性。

位移連續條件可表示為：

fsSS= （2.2）

式中，sS為結構域在耦合邊界的位移值，fS為流體域在耦合邊界的位移值。

（3）能力守恒原理

耦合界面的能量守恒原理包含兩部分，從力學角度分析，耦合界面上流體力與固體力在界面位移上所做的虛功相等；從物理學角度分析，流體吸收的熱量等于固體傳遞的熱量。

由虛功原理得：

TTssffuFuFδδ=gg （2.3）

式中，fuδ、suδ分別代表耦合界面對應流體、固體節點虛位移，sF、fF分別代表耦合界面對應流體、固體節點力。

2.2 CFD/CSD數據交換

流固耦合的分析過程：在高超聲速流場作用下，結構會產生較大的位移變形和溫度變化，因此會對周圍的流體域產生較大的變形作用和熱流傳導，而流體域的變化會進一步改變作用在結構表面上的壓力，從而形成流固相互耦合的作用。

本文采用了一種徑向基函數插值方法，實現了耦合界面不匹配網格位移值的交換。步驟如下：

（1）首先計算出流體節點壓力，將流體網格節點壓力數值傳遞給結構網格節點。然后計算結構在流體壓力作用下的位移響應。

（2）由于固體域發生變形，耦合界面和固體域發生同樣的變形，需要將固體位移變形插值到流體網格節點上。首先從變形的固體模型中得到所有節點坐標與位移值，使用RBF方法得到數據轉換矩陣，通過該矩陣求出流體域所有節點位移值。

（3）計算在結構位移邊界條件下新的流場的壓力值，再把壓力值通過耦合數據傳遞到結構域，完成循環迭代求解。

（4）將得到固體域各節點位移值與前一次的位移值做比較，直到位移變化收斂到一定范圍內，固體分析結果才是流固耦合結果。

3.結論

（1） 該算法與局部插值算法相比，局部插值方法需要某種形式的搜索能力，要完成耦合界面節點數值交換必然十分困難，需要單獨開發程序，這將大大提高編程的難度。該算法可適用于不同的模型。

（2） RBF插值法能夠高精度的擬合數萬個數據，徑向基函數對數據管理能力比較強，從而能夠模擬更加復雜的插值算法。

參考文獻

[1]Chen.P.C，Jadic.I.Interfacing of fluid and structural models via innovative structural boundary element method[J]，AIAA J.1998，36（2）：282-287.

[2]J.R.Cebral，R.Lohner.Conservative load projection and tracking for fluid-structure problems[J].AIAA Journal.1997，35 （4）：687-692.

[3]DETTMER W，PERI D.A computational framework for fluid-structure interaction： finite element formulation and applications [J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2006，195（01）：1633-1666.

[4]Harder R L，Desmarais R N. Interpolation Using Surface Splines. AIAA J，1972，9（2）：189-191.

[5]Duchon，J.Splines minimizing rotation-invariant semi-norms immobile spaces[J]，Constructive Theory of Functions of Several Variables，1976，1（1）：85-100.

作者簡介

張曉瑩（1993-），女，漢族，黑龍江佳木斯市人，單位：鄭州大學力學與工程科學學院 研究方向：工程結構分析。

陳宏業（1985—），男，漢族，河南駐馬店人，助教，碩士，研究方向：安全技術及工程。