強調“三重聯系” 發展“四基”“四能”

王仁龍+章勤瓊

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了數學教學要注意“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間聯系”的“三重聯系”，還提出要發展學生的“四基”與“四能”，相比實驗稿課標，著重強調了數學基本思想與基本活動經驗，以及提出問題和發現問題能力的重要性。在“三重聯系”的觀點下，在數學課堂中發展學生的“四基”與“四能”，主要可以著眼于以下三點：探究數學知識之間的聯系以獲得基本思想;探索數學與生活之間的聯系以獲得基本活動經驗;探知數學與其他學科之間的聯系以培養提出問題和發現問題的能力。

【關鍵詞】三重聯系;四基;四能

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0018-03

【作者簡介】1.王仁龍，浙江師范大學（浙江金華，321004）教育碩士，浙江泰順教師發展中心研訓員; ? ? ? ? ? ?2.章勤瓊，溫州大學數學與信息科學學院（浙江溫州，325035）教育學博士，南京師范大學教育科學學院博士后。

一、探究數學知識之間的聯系以獲得基本思想

數學知識的發生發展有著千絲萬縷的關系，本著聯系是客觀存在的唯物主義觀點，我們平時設計問題時要注重數學知識之間的聯系。課堂教學要注重知識的聯系性，注重知識螺旋上升的同時考慮學生的“最近發展區”，讓學生在學習中經歷“跳一跳”的過程。

案例一 探索最短路線問題。

引例：教材原題：（浙教版《數學》七年級下冊第196頁）如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

圖1 圖2

這個問題聯系了幾個知識點：兩點之間線段最短、軸對稱圖形性質等。為此，引導學生進行討論，設街道上一點為P，求PA+PB最小，要進行轉化，如何轉化呢？就是合二為一，將兩條線段轉化到一條線段上去，為此想到軸對稱中“軸兩側的圖形關于對稱軸對稱”。引導學生作A（或B）關于l的對稱點A（或B′），連接BA′交l于點P，P即為所求。這個問題就是著名的我國古代“將軍飲馬問題”。問題的求解依賴原有知識聯系，將問題進行轉化。

學生通過學習數學知識之間的聯系，獲得轉化的思想后，我們將問題深入。

應用和延伸：

1.如圖3，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

將問題變式，聯系上一題，引導學生找“兩點一線”，不難找到E關于BD的對稱點E′，連接CE′，與BD相交，得到交點Q，如圖4。

圖3 ? ? ?圖4 ? ? ?圖5

2.如圖5，在河灣處M點有一個觀察站，觀察員要從M點出發，先到AB岸，再到CD岸然后返回M點，請畫出該船應該走的最短路線。

此題增加了復雜程度，由前面的兩條線段增加為三條線段，但本質沒有變化。在第一題的基礎上，學生容易看到問題本質，即不論是多少條線段，要求最短距離，都需要將這些線段“搬到一起”。問題設置落在學生最近發展區上，讓孩子“跳一跳”就能夠得著，給孩子以思考的空間，聯系軸對稱和兩點之間線段最短等相關知識，順利將問題轉化為“合三為一”，在感受前后知識的聯系中水到渠成獲得轉化思想。

二、探索數學與生活之間的聯系以獲得基本活動經驗

數學來源于生活，數學學習歸根結底是“數學化”的學習，即需要學會用數學的眼睛去認識世界。因此，在數學教學中，若能更多地運用數學與學生生活的聯系，則可以幫助他們更好地理解數學。

案例二：婚宴上的數學。

這是一個來源于現實生活的問題，經過適當加工，可以在數學課堂教學中很好地應用。有一天在婚宴上，我們在等候客人期間，上來一盤糖果，其中有11顆大白兔奶糖，當時有人提出了一個問題，若這些大白兔奶糖全部送給你，每天至少吃一顆，請問有幾種吃法？

在提出這個問題后，學生首先提出了一個一個數的方法，但很快他們就發現由于每天吃糖的顆數可以從1到11，又分別可以產生不同的組合，情況太多，用數的方法難以解決。進而教師進行引導，之所以數的難度大，是因為糖的數量太多，因此，可以將糖的數量“退”到最少，即從一顆開始。學生很快就明白可以將糖進行排列，一起吃的就連在一起，隔開吃的就分開排，具體如表1所示。

表1：不同數量糖果的不同吃法（其中“-”表示合起來一天吃掉）

通過列表，學生發現，當糖果數量是1、2、3、4時，不同的吃法分別是1、2、4、8。此時，有學生提出猜想，當糖果數量是5的時候，吃法總數應該就是16，因為規律都是“乘以2”。

至此，學生已通過觀察發現了其中的規律，接下來可以進一步引導學生思考，為什么當糖果數量增加1時，吃法總數會在前面的基礎上乘以2呢？ ?經過了長時間的探索、思考之后，學生終于發現了規律：每增加一顆糖果，都是在原來每一種吃法的基礎上去加，加上的這一顆要么和最后一顆一起吃，要么分開吃，也就是說在原來吃法的基礎上又可以分為兩種情況，所以要乘以2。

在學生通過列表這一“操作性”的數學活動解決了這一問題后，還可以進一步引導學生思考，進行“反思性”的數學活動。之后有學生提出另一種想法，我們將11顆糖果排成一行，然后往中間插空格，11顆糖果，10個空格，每個空格可以選或不選，有兩種方法，那么就有210種，這樣還可以得到一般的情形，有n顆糖果，就有2n-1種不同的方法。如果對這一問題進一步深入，就可以轉化成排列組合問題。因為插入的空格數目可以是0到10，那么就有C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+C1010=210。這與之前通過列表得到的結果是一樣的，不過，學生分別經歷了“操作性”與“反思性”兩種基本活動經驗。在這個例子中，通過生活中學生熟悉的例子，引導探究操作，發展學生思維，學會抓住問題難點，獲得解決問題的基本活動經驗，讓學生都獲得了不同層次的思維鍛煉。

此外，在數學課堂教學中，運用學生熟悉的生活情境，有利于教學活動的開展。譬如，在教學三角形時，如果考慮學生的生活經驗與興趣點，準備意大利面，讓孩子將面條折成三段，然后構造出三角形。這個活動易操作，且符合學生的生活經驗，就可以更好地調動學生的主動性。而在折面條的過程中，部分學生因為沒有考慮三邊關系，沒法構造出三角形。學生自己在課堂上操作，產生沖突，主動思考原因，最后自然地給出了三角形的定義以及三邊長度的關系。

三、探知數學與其他學科之間的聯系以培養提出問題和發現問題的能力

發掘學科之間的關聯，能經常帶給學生新鮮感，數學作為科學研究的工具，我們要注重培養學生建立數學有用的意識。注重聯系數學與其他學科的教學設計，不斷引導學生提出問題、發現問題，常能得到意想不到的效果。

案例三：物理運動下的圖形問題。

圖6是一個街區的平面圖。如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點，點P從點B出發，以2cm/s的速度沿BA勻速向點A運動，設它運動的時間為t秒，你能提出什么問題？

學生設計了如下一些問題：

問題一：連接P、D點，t為何值時，△PDB是等腰三角形？

問題二：以點P為圓心、BP為半徑畫圓，t為何值時，⊙P與AD相切？

問題三：t為何值時，S△PDB=S△ABC？

在學生小組合作快速解決以上問題后，教師在第一題一個動點的基礎上增加一個動點，不斷補充條件，不斷加深難度，引導學生循序漸進地對動點問題進行探討。

變式一：如圖7，另一動點Q同時以1cm/s的速度從點C出發，沿DB勻速向點B運動，過點Q作QF⊥BC交AC于點F，連接PF、PQ，其中一個動點到達端點時，另一動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為t秒。

在條件增加的情況下，再讓學生提問題，學生提出如下問題。

問題四：點t為何值時，S△PDQ最大？

問題五：點t為何值時，△PFQ為直角三角形？

以上基于物理學科物體勻速直線運動的背景，根據路程、速度和時間關系探究動點問題，有效整合學科間聯系，將問題設置成開放題，在培養學生解決問題和分析問題的能力的前提下，很好地為學生搭建了提出問題和發現問題的平臺，培養學生的創新精神。

在數學教學中，若能注意數學與其他學科的聯系，還能培養學生提出問題和發現問題的能力。譬如，講到《黃金分割》這個章節時，教師展示了美術作品《蒙娜麗莎的微笑》，蒙娜麗莎臉上的微笑神秘莫測且令人傾倒，蒙娜麗莎之所以給人以美的感受，是很好地運用了“黃金分割”定律。因為畫中很多地方都隱含了“黃金分割”：臉部長寬比例是0.618，眼睛到額頭與到下巴也是這個比例等。而且，很多植物兩片葉子所成的夾角是137°28'，這個夾角把圓周分成1：0.618的兩個角，據研究發現，這種角度對植物通風和采光效果最佳。由于巧妙運用這一發現，美國少年艾丹·德懷爾被授予2011年度“年輕自然學家獎”。這樣的關聯，讓學生體驗到在大自然與其他學科中，數學的身影無處不在。

此外，還可以通過各種豐富多彩的方式來進行數學教學，譬如，可以利用剪紙折紙來教學三角形以及角平分線等基本線的概念與特征，以及彼此之間的聯系。在這樣的教學過程中，學生不僅用數學的眼睛看到了美術作品與大自然中獨特的美，更重要的是，通過學科之間的聯系，在設計中注重“問題意識”的培養，課堂中要時刻注意給學生“發現問題”的機會，如用開放題給孩子機會，多問“為什么？”“你是怎么想的？”“還有其他想法嗎？”學生的問題意識增強了，學習效率就會提高，思維品質也就逐步完善。這也是學生創新精神培養和能力提升的基礎。

對于基礎知識與基本技能的落實是我國數學教育的特點，而傳統數學課堂教學的設計主要是注重學生分析問題和解決問題能力的培養，在教學中往往對數學基本思想與基本活動經驗不夠重視，忽視了學生提出問題與發現問題能力的培養。這種教學雖然扎實，卻有所缺失，不利于學生創新精神的養成。在“三重聯系”的觀點下，在數學教學中若能夠加強數學與前后知識、與學生生活以及與其他學科的聯系，則有利于學生數學思想數學活動經驗的獲得，并能更好地給他們創建平臺，培養提出問題、發現問題的意識與能力。

【參考文獻】

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