陀螺隨機游走對定向設備雙位置尋北精度影響分析

殷 楠， 劉建鋒， 葛 磊， 李向東

（中國航天科工集團 第二研究院七〇六所， 北京100854）

具有轉位機構的定向設備在尋北時，常采用雙位置尋北算法[1-4]，采用將相差180°的兩個位置相減的方法來實現尋北。 雙位置尋北可消除陀螺常值漂移對尋北精度的影響，能有效提高定向設備尋北精度，且算法較為簡單，實用性較強。

有關雙位置尋北誤差分析的文獻較多[5-7]，但都是分析陀螺常值漂移對尋北精度的影響。 但對于陀螺本身而言，其誤差不止包含常值漂移，隨機游走系數也是其重要誤差源。 且雙位置尋北不能消除陀螺儀的隨機游走，因此，隨機游走對尋北精度有較大影響。 可見，分析隨機游走系數對多位置尋北精度影響，具有重要的意義。 但目前鮮有相關文獻。

文中分析了隨機游走系數對定向設備雙位置尋北精度的影響，推導了相關誤差公式，進而證明雙位置尋北精度與隨機游走系數有關， 且與每個位置的數據采集時間有關，數據采集時間越長，則尋北精度越高；同時證明了由于隨機游走系數的影響，雙位置尋北有失效的可能。 最后提出了改進的雙位置尋北算法， 有效解決雙位置尋北有可能失效的問題，并能提高尋北精度。

1 雙位置尋北算法

雙位置算法原理較為簡單，這里對雙位置尋北算法做簡單介紹。 雙位置尋北是利用水平面的陀螺敏感到的地球自轉角速度的北向分量來進行解算。 當定向設備不處于水平狀態時，可通過加表敏感重力加速度，計算出定向設備的俯仰角和橫滾角，進而可以將陀螺敏感到的地球自轉角速度投影到水平面上，因此，這里為了分析方便，假設定向設備已處于水平狀態。

當定向設備處于水平狀態， 且與北向的夾角為φ 時，設此時陀螺處于位置1，則陀螺敏感到的地球自轉角速度為

其中wie為地球自轉角速度，L 為當地地理緯度，ε（t）為陀螺漂移。 一般陀螺漂移主要有常值分量、高頻噪聲和隨機游走組成，陀螺漂移的輸出信號為：

其中，隨機游走為高斯白噪聲，服從均值為0，方差為Q的高斯分布。

再利用力矩電機驅動使陀螺敏感軸轉動180°到位置2，則陀螺敏感到的地球自轉角速度為

陀螺分別在位置1 和位置2 采集一段時間數據，并對兩個位置的數據進行求均值平滑，則可將高頻噪聲平滑掉。 當不考慮隨機游走的影響時，兩個位置平滑后的值為

此時可以計算北向夾角為：

2 隨機游走系數對尋北精度影響分析

在進行雙位置尋北解算時，對于陀螺的噪聲只考慮了常值漂移和高頻噪聲，忽略了隨機游走系數的影響，而實際上，雙位置對準的尋北精度恰恰是由隨機游走系數決定的。 下面證明之。

當考慮隨機游走系數時， 兩位置的求均值平滑后的值應為

其中，T 為每個位置的采樣時間，W1（T）、W2（T）為隨機游走系數積分的平均值，即

由于隨機游走系數為高斯白噪聲，為隨機變量，則隨機游走系數的積分仍然為隨機變量，因此，W1（T）、W2（T）為隨機變量。 其統計特性為

此時有

則

此時，計算出來的帶有誤差的北向夾角為

對等式右邊一階泰勒展開得

則

為隨機變量。 其均值和方差分別為

則其標準差為

由此可見，在考慮陀螺隨機游走系數時，雙位置尋北的誤差 Δφ 為 隨 機 變 量 ， 其 均 值 為 0， 標 準 差 為Δφ 的精度與每個位置的采樣時間T 和定向設備所處的方位φ 有關系。 從上面的式子可以看到，時間T 越大，則其標準差越小，即精度越高。

再假設當φ=0°或當φ=180°時，考慮方位誤差方程

由于W1（T）、W2（T）為隨機變量，所以W1（T）～W2（T）可能是正值，此時，會導致上式中的反余弦函數中的變量的絕對值大于1，造成解算錯誤。 當φ 在0°或180°附近時，同樣可能存在這個問題。因此，如果用這種尋北算法，有出現解算錯誤、算法失效的可能。

3 改進的雙位置尋北算法

在第2 節中，已經分析了常規的雙位置尋北算法，有可能出現失效的情況，因此，有必要對其進行改進。 在改進的過程中，基于兩個原則：1）杜絕算法出現計算失效的情況；2）盡量提高算法的精度。

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由于轉位機構都有測角系統，因此，在杜絕算法出現計算失效的情況時，可以將轉為轉動一個角度θ，避開0°或180°的位置，再進行尋北解算，得出，則真實北向φ 為

但是該轉動多少角度， 則需要從提高算法的精度方面考慮。 觀察Δφ 的標準差

可見，Δφ 的精度除了與時間相關外，還與|sinφ|有關，|sinφ|越大，則其標準差越小，當|sinφ|=1 時，Δφ 的標準差達到最小。 即φ=90°或270°時，尋北精度最高。 因此可以利用轉位機構，將陀螺的兩個位置分別停留在90°和270°，則從理論上取得最高的精度。 而當φ=90°或270°時，正好是東向或西向，恰恰是陀螺輸出為0（不考慮陀螺漂移）時，因此，很容易大致找到這兩個位置。

改進的雙位置尋北算法的具體的實施方法如下：

開機啟動陀螺后，先利用轉位機構帶動陀螺旋轉一周，并記錄出陀螺輸出的絕對值最小時的轉位機構轉動的角度θ，然后再將陀螺轉動到該位置上，進行第一個位置的數據采集，采集時間到后，旋轉到達第二個位置，采集數據，再進行尋北解算，得出則真實北向φ 為

即完成了尋北解算。

4 仿真驗證

本節設計兩個仿真試驗，以驗證所提觀點的正確性。

第一個仿真試驗是驗證雙位置尋北精度與每個位置采樣時間有關，時間越長，精度越高，且與誤差分析相關公式吻合。

第二個仿真試驗要驗證兩個內容：1）在方位角0°、180°附近時，有出現計算錯誤而失效的可能；2）本文所提算法的有效性。

第一個仿真試驗的設計如下， 假設定向設備方位角為45°，陀螺常值漂移為0.01°/h，隨機游走為，采樣頻率為200 Hz，設計兩組尋北時間，第一組為4 分鐘，每個位置采集數據2 分鐘，第二組為10 分鐘，每個位置采集數據5 分鐘，分別進行10 次仿真，所得尋北結果及誤差如表1 所示。

表1 不同時間尋北誤差對比Fig. 1 North-seeking error for different time periods

從表1 中可以看出，10 分鐘尋北的標準差明顯優于4 分鐘尋北，從而證明了文中提出的第一個結論，雙位置尋北精度與每個位置的采樣時間有關，時間越長，精度越高。 再相關仿真參數代入本文所推導的誤差標準差公式， 可得4 分鐘、10 分鐘的尋北誤差標準分別為

與仿真結果基本吻合，仿真次數越多，樣本越多，則吻合的會越好。

再設計第二個仿真試驗， 假設定向設備分別處于0°、45°、90°，尋北時間為10 分鐘，陀螺相關參數不變，每個方位進行10 次仿真，所得尋北結果及誤差如表2 所示。

其中，在0°方位的尋北中，False 表示尋北失敗，在10 次的尋北中，有4 次失敗。 從理論上來講，會有50%的概率尋北失敗，在10 次試驗中，有4 次失敗，與理論分析較為吻合。 再比較3 個方位的尋北精度， 可以看出，90°方位尋北效果最好，0°方位最差，且存在失敗的情況，45°方位居中。 根據的誤差公式可以計算出，std[Δφ]45°的標準差為std[Δφ]90°的倍，而仿真結果的比值約為1.348，與較為接近。進而驗證了所推導公式的正確性。

表2 不同方位尋北誤差對比Fig. 2 North-seeking error for different positions

5 結 論

通常情況下，在利用雙位置尋北算法進行尋北時，會忽略隨機游走系數對尋北精度和效果的影響。 然而，隨機游走系數恰恰最終決定了尋北精度，且還有可能導致尋北失敗。 本文分析了隨機游走系數對雙位置尋北精度的影響， 并推導了相關誤差公式，證明了常規雙位置尋北存在尋北失敗的可能，指出雙位置尋北精度與隨機游走系數、尋北時間及所處方位有關，提出了改進的雙位置尋北方法。 最后通過仿真試驗驗證了相關結論：1）尋北時間越長，其尋北精度越高；2）在0°方位附近，存在尋北解算失敗的情況；3）在90°方位尋北效果最好。

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