基于凹凸組合的一類洛倫茲曲線模型

儲昌木　+邢麗　田應福

摘 要 為了統計和分析一個國家和地區的收入分配情況，經濟學界往往通過入戶調查獲得家庭收入與消費等數據，采用洛倫茲曲線模型來進行數據擬合.洛倫茲曲線模型擬合效果的好壞，直接影響著收入分配的描述.本文構建了一類凹凸組合的洛倫茲曲線模型，并針對19個國家的收入分配數據進行了實證分析.結果顯示該模型具有較好的擬合效果，其基尼系數能較好地描述收入分配現狀，對反映和監測居民之間的貧富差距具有重要意義.

關鍵詞 數理經濟學；洛倫茲曲線；基尼系數；凹凸組合

中圖分類號 F014.4 文獻標識碼 A

A Class of Lorenz Curve Model with

Concave and Convex Combination

CHU Changmu，XING Li， TIAN Yingfu

（College of Science， Guizhou Minzu University， Guiyang，Guizhou 550025，China）

Abstract In order to analyze and make statistics about a national and regional income distribution situation， the economics often obtain the income and consumption data through household surveys， and carry out data fitting by using the Lorenz curve model. And the Lorenz curve model fitting effect directly affects the description of the income distribution. This paper constructed a class of Lorentz curve model involving concave and convex combination， and carried on the empirical analysis by using the income distribution data of 19 countries. The results show that the model has good fitting effect. The Gini coefficient can well describe the income distribution situation. As a result， the model is of great significance to reflect and monitor the gap between the rich and poor residents.

Key words mathematical economics； lorenz curve； gini coefficient； concave and convex combination

1 引 言

在社會經濟領域，一些重要的社會經濟指標如收入分配的分布都是不均勻的，具有高度的集中性.洛倫茲曲線和基尼系數是描述和度量分布不均勻性與集中性的重要統計分析工具，在社會經濟領域的定量分析中獲得了廣泛的應用.

設收入分配的概率分布密度函數為f（x），對應的分布函數為F（x），則p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例.記收入低于或等于x的人口群體擁有收入占總收入的比例為L（p），則

L（p）=1μ∫x0tf（t）dt，p=F（x），

也稱L（p）為收入分配的洛倫茲曲線.記F（x）的反函數為F-1（p），μ為平均收入，則洛倫茲曲線可以表示為

L（p）=1μ∫p0F-1（q）dq.

經 濟 數 學第 32卷第2期

儲昌木等：基于凹凸組合的一類洛倫茲曲線模型

因此，只要知道了收入分配的統計分布，就能得到相應的洛倫茲曲線.然而，在實踐應用中收入分配的統計分布是未知的. 實踐中通過入戶調查獲得家庭收入與消費等數據，這種數據的完整形式為pi，Lini=1，其中pi是低收入群體的累計人口比例，Li是該群體擁有的總收入比例.經濟學界采用洛倫茲曲線模型L（p，τ）擬合上述數據，其中τ是一組參數，使用最小二乘法求解

min ∑ni=1L（pi，τ）-Li2

確定其中參數向量τ的估計值，然后用L（p，）=（p）作為近似的洛倫茲曲線來進行收入分配分析.L（p，τ）是定義在[0，1]區間上、取值于[0，1]區間的函數，滿足

L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L′（p，τ）≥0，

L″（p，τ）≥0， （1）

即L（p，τ）在[0，1]上是凸增函數.

近幾十年，洛倫茲曲線模型受到人們的普遍關注.文獻[1]及其參考文獻提到了大量的洛倫茲曲線模型，并利用均方誤差、平均絕對誤差和最大絕對誤差等對擬合精度進行比較.然而已有的這些模型還存在諸多不足.有些模型擬合效果欠佳，不能提供整個[0，1]上的良好逼近[2-4]， 有些模型不滿足洛倫茲曲線的條件[4，5].為了克服這些局限性，文獻[6]討論了構建洛倫茲曲線模型的一般方法，并考慮了如下乘積形式的洛倫茲曲線模型：

（p）=f（p）αg（p）η， α≥0， η≥0， （2）

其中f（p）和g（p）是含參數的洛倫茲曲線模型.作為模型（2）的特殊情形，Sarabia[7]等構造了形如S（p）=pαL（p）η的模型并給出了S（p）滿足洛倫茲曲線的條件.隨后，文獻[8]將文獻[7]的結論改進成如下定理.

定理1 設L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，則

（i） 對于任何α≥0，當η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件；

（ii） 若對任何p∈[0，1]，有ddpL″L′≥0，則當α≥0，η≥0，α+η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件；

（iii） 若對任何p∈[0，1]，有L（p）≥0，則當α≥0，η≥12，α+η≥1時，S（p）滿足洛倫茲曲線的條件.

2 洛倫茲曲線模型的構建

對文獻[8]的幾個具體模型的數值實驗進行分析后，不難發現這些模型獲得較好的擬合效果時參數α的估計值∈（0，1）.顯然，當α∈（0，1）時，pα是一個凹函數，這是否蘊含著將模型（2）中的f（p）和g（p）這種兩個凸函數的組合形式替換成凹凸（即一個凹函數和一個凸函數）組合形式，會提高擬合的精度呢？基于這種思想，構造如下的洛倫茲曲線模型

H（p）=2p1+pαL（p）η，其中L（p）是含參數的洛倫茲曲線模型.

引理1 設L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，則當α≥0時，J（p）=2p1+pαL（p）滿足洛倫茲曲線的條件.

證明 要證J（p）滿足洛倫茲曲線的條件，只需證J（p）滿足式（1）.由于L（p）滿足洛倫茲曲線的條件，所以由（1）式知，L（0）=0，L（1）=1，L′（p）≥0，L″（p）≥0. 由此易知J（0）=0， J（1）=1.由J′（p）=2α2p1+pα-1L（p）（1+p）2+2p1+pαL′（p）知，當α≥0時，J′（p）≥0.直接計算可得，

參考文獻

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