基于全變量信息的子空間監控方法

呂小條，宋冰，譚帥，侍洪波

（華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室，上海 200237）

引 言

隨著現代工業及科學技術的迅猛發展，系統的規模和復雜性不斷增加，過程監控變得越來越重要。有效的過程監控可以保障生產安全、保證產品質 量[1]。然而，實際化工過程的監控系統得到的數據往往維度較高，變量間關系復雜，直接基于原始數據建立檢測模型較為復雜。為了得到包含原始數據主要特征的低維數據，出現了多種降維方法[2]。

多元統計過程監控（multivariate statistical process monitoring，MSPM）方法通過降維，得到了包含原始數據主要特征的低維數據，然后基于低維數據建立故障檢測模型，目前已在化工過程中得到了廣泛的應用[3-6]。PCA 是目前研究較多的多元統計過程監控方法之一，然而，傳統的PCA 過程監控方法通常會造成信息缺失。一方面，由于PCA 將原始數據投影到PCS 和RS 兩個空間，主元空間僅保留了方差較大的主元，丟棄了方差較小的主元，破壞了信息的完整性；另一方面，盡管T2和SPE作為互補的監控指標，但是它們監測過程的不同方面，在過程監控中的地位是不對稱的。這樣，在線檢測時，這種差異會進一步加劇，造成信息缺失[7-8]。信息缺失會影響過程監控性能。

為了更好地實現化工過程故障監控，近幾年，許多學者從子空間角度提出了多種故障監控方法。Ge 等[9]提出了非線性過程監控的線性子空間方法（BSPCA），該方法基于PCA 分解構造線性子空間，將原始過程變量劃分為k+1 個子塊。文獻[10]首先通過k均值聚類算法劃分不同的操作模態，然后在單一模態下，用多個線性子空間近似過程變量的非線性特性，解決了具有非線性特性的多模態問題。文獻[11]針對Plant-Wide 過程，利用PCA 分解將原始數據劃分成k+1 個子塊，然后在每個子塊中建立PCA 模型進行監控，這種劃分子塊的方法不需要任何過程知識。文獻[12]將ICA 與子空間有機結合，提出了基于獨立元貢獻度的子空間故障檢測方法，用于處理非高斯過程。上述子空間方法的共同特點：在構造每個子空間時，均挑選了對該子空間貢獻度較大的變量，因此同一變量可能出現在多個子空間中，存在變量的重疊，會導致過程信息的冗余。Zhang 等[13]利用子空間方法處理多模態及動態問題，使得模態劃分更加準確，算法復雜度大大降低。該方法提取了不同模態的共同信息，構成共同子空間及每個模態下的特定子空間，在子空間中采用、SPE 作為監控指標，由于、SPE 在過程監控中地位不對稱，導致信息缺失問題。Jiang 等[14]提出了基于SPCA 的故障檢測和診斷方法，根據T2的變化率來挑選主元，將對故障敏感的主元劃分在同一子空間中。但敏感主元只在故障發生時被挑選，還有一些主元不能被挑選，造成過程信息的缺失[15]。

為了在降維的同時更好地保存變量信息，本文提出一種基于全變量信息的子空間監控方法（FVI），用于線性過程監控。首先，PCA 分解得到兩個正交且互補的空間PCS 和RS，考慮到每個變量與PCS 和RS 關聯程度不同，可將關聯關系相似的變量劃分在同一子空間中，這樣可確保不同子空間之間的差異性，以及同一子空間內部的有效性。本文采用夾角來衡量每個變量與PCS 或者RS 的關聯關系。該變量與PCS（或RS）夾角越小，說明它在PCS（或RS）上的投影越大，即與 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依據夾角的大小，將全部變量劃分為3 個子空間：①子空間Ⅰ，變量與PCS 夾角小，與PCS 相似性高；②子空間Ⅱ，變量與RS 夾角小，與RS 相似性高；③子空間Ⅲ，變量與PCS 和RS 的夾角均大，與二者相似性均低。這樣，原始數據空間被劃分成3 個低維的子空間，然后，在每個子空間中建立監控模型，采用馬氏距離作為監控指標，并利用貝葉斯推斷整合各個子空間的監控結果。FVI 方法構造的3 個子空間包含了全部過程變量，可以更充分地利用過程信息。最后，通過數值仿真及TE 過程仿真研究驗證了FVI方法的有效性。

1 PCA 簡介

考慮數據矩陣：X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×m，其中m表示變量，n表示采樣數。在進行PCA 建模之前，先對數據進行標準化，將X的各列處理成單位方差且零均值的變量。定義標準化后的協方差矩 陣為

對C進行特征值分解，并按照特征值大小降序排列。則PCA 對X進行如下分解

其中，P∈Rm×k、∈Rm×(m-k)分別為PCS 和RS 的負載矩陣，T∈Rn×k、∈Rn×(m-k)分別為PCS 和RS的得分矩陣。

2 子空間的構造方法

2.1 理論依據

傳統PCA 過程監控方法在降維時會造成信息缺失，嚴重影響過程監控性能。受分塊建模策略和關鍵變量選擇方法的啟發，可以將全部過程變量劃分成截然不同的多個子塊，即將原始數據空間用多個子空間近似[16]。要建立合理的子空間監控模型，關鍵要確保子空間的差異性和有效性。差異性要求各個子空間之間的差別要大，能夠更好地反映不同方面的信息，減少冗余；有效性要求單個子空間要包含足夠信息，這樣才能反映各個內在成分的特征和變化。

考慮到每個變量與PCS 和RS 關聯程度不同，將關聯關系相似的變量劃分在同一子空間，這樣可確保構造出的子空間具備差異性和有效性。本文采用夾角來衡量每個變量與PCS 或者RS 的關聯關系。該變量與PCS（或RS）夾角越小，說明它在PCS（或RS）上的投影越大，即與 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依據所得的夾角來劃分子空間，下節將詳細介紹子空間的劃分方法。

2.2 子空間的劃分方法

首先，對標準化后的數據X∈Rn×m進行PCA 分解，得到PCS 和RS，然后計算變量i(i=1,2,…,m)與PCS 的夾角θiPCS

其中，Xi代表X的第i列，即第i個變量。變量i與RS 的夾角θiRS

由于Xi是一個向量，而T和均為一個矩陣，求上述夾角，即求一個向量與一個矩陣所張成的子空間之間的夾角[17-18]。

設T張成的子空間為F1，即

分別對T和Xi作QR 分解，求得標準正交基

然后對作SVD 分解

則向量Xi與矩陣T所張成的子空間F1 之間的夾 角為

其中0°≤θiPCS≤90°，由于PCS 和RS 正交互補，所以有下面等式成立

式(9)表明：同一變量與PCS 的夾角同與RS 的夾角之和為定值90°。說明某變量與PCS 夾角越小，則與RS 夾角越大，夾角的大小表征相似程度的高低，故可依據每個變量與PCS 和RS 相似性的高低來劃分子空間。由于=90° -，因此統一采用θiPCS來構造子空間。定義θcut1和θcut2作為分界值，構造的3 個子空間如圖1所示：①子空間Ⅰ，變量與PCS相似性高，0°≤θiPCS≤θcut1；②子空間Ⅱ，變量與RS 相似性高，θcut2≤θiPCS≤90°；③子空間Ⅲ，變量與PCS 和RS 相似性均低：θcut1≤θiPCS≤θcut2。

選取分界值θcut1和θcut2時，要確保每個子空間內部的有效性，有效性體現在同一子空間中的θiPCS相對集中，因此可采用K均值聚類算法對(i=1,2,…,m)進行聚類，得到子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的變量。聚類完成后，子空間Ⅰ中最大角度記為θI,max，子空間Ⅲ中最小角度記為θIII,min，最大角度記為θIII,max，子空間Ⅱ中最小角度記為θII,min，則分界值θcut1∈[θI,max,θIII,min)，θcut2∈(θIII,max,θII,min]。

圖1 3 個子空間構造示意Fig.1 Schematic diagram of three subspaces construction

2.3 監控結果整合

子空間構造完成后，全部過程變量被劃分成3塊。在每個子空間中，計算馬氏距離作為監控指標

其中，s表示子空間，取1，2，3（對應子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），Xs表示子空間s中的變量構成的矩陣，Ss表示子空間s的協方差矩陣，ms表示子空間s所包含的變量數目，滿足：表示自由度為ms的控制限。

通常情況下，不同子空間的監控模型具有不同的控制限，因為子空間的自由度ms不一定相同。因此，對于新的監控樣本xnew，不能從3 個子空間的監控結果直接得到最終的監控結果。本文采用貝葉斯推斷策略，將3 個子空間的監控結果以概率的形式整合[19]。首先，xnew在每個子空間中發生故障的概率計算如下

式中，N和F分別代表正常和故障，P(N)和P(F)分別代表正常和故障的先驗概率，P(N)和P(F)分別定義為α和1-α，其中α表示置信水平。為了得到Ps(F|xnew)，還需要知道Ps(xnew|N)和Ps(xnew|F)，對這兩個概率定義如下

這樣便得到xnew在每個子空間中發生故障的概率Ps(F|xnew)。定義最終的監控結果為 BIC(xnew)，為了更好地整合結果，采用添加權重的方法將得到的3 個概率作如下整合，求得最終的監控結果

整合后的控制限： BIClim=1-α，當 BIC(xnew)超過控制限時，說明有故障發生，否則，視為正常過程。

對于變量間關聯強的化工過程，θiPCS(i=1,2,…,m)的分布會相對集中一些，可能會出現某個子空間為空的情況。

3 基于FVI 方法的過程監控

基于FVI 方法的過程監控包括離線建模和在線檢測兩個階段。

3.1 離線建模

（1）采集正常訓練樣本數據X，并對數據進行標準化；

（2）對X進行PCA 分解，得到主元空間PCS和殘差空間RS；

（3）根據式(8)，計算Xi與PCS 的夾角θiPCS；

（4）對θiPCS進行聚類，Xi被分成3 塊，對應子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（5）在每個子空間中，計算協方差矩陣Ss，根據式(10)確定子空間的控制限Ds,lim；

（6）取整合后的控制限 BIClim。

3.2 在線檢測

（1）對于新的測試數據xnew，進行標準化；

（2）根據離線建模步驟(4)，xnew的全部變量相應地被分成3 塊，構成子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（3）在每個子空間中，利用離線建模階段得到的Ss，計算馬氏距離Ds；

（4）利用貝葉斯推斷策略整合3 個子空間的監控結果，得到 BIC(xnew)；

（5）判斷 BIC(xnew)是否超過控制限 BIClim，若超過，說明有故障發生，否則視為正常。

圖2為離線建模和在線檢測的流程圖。

圖2 FVI 方法的流程Fig.2 Flowchart of FVI method

4 仿真實例

本節對兩個例子進行仿真研究，第1 個是數值例子，第2 個是Tennessee Eastman（TE）過程。將FVI（BIC）方法與PCA（T2，SPE）方法的仿真結果進行比較，證明本文方法的有效性。

4.1 數值仿真

本節參照文獻[8]中的數值例子，構造出的數值模型結構如下

其中，t=[t1,t2,t3,t4,t5]T是零均值高斯分布的數據源，其標準差分別為1，0.8，0.6，0.9 和0.3。噪聲noise 服從零均值，標準差為0.01 的高斯分布。首先，在正常工況下，產生800 個樣本作為訓練數據。然后設定兩個故障：故障1，201T=時刻起給x3加一個幅值為1 的階躍信號；故障2，T=201 時刻起給t5加一個幅值為3 的階躍信號。兩種故障工況下，分別產生800 個樣本作為測試數據。在測試數據中，前200 個樣本是正常樣本，后600 個樣本是故障樣本。

表1 兩種方法的誤報率和漏報率Table 1 Fault alarm rate and miss alarm rate of two methods/%

PCA 方法采用方差貢獻度選取主元個數，設定方差貢獻度為0.85。FVI 方法的參數設置如下：PCS的維度為2。計算每個變量與PCS 的夾角，對夾角值進行K均值聚類，構造的3 個子空間變量組成如下：子空間Ⅰ：x4，x5；子空間Ⅱ：x2；子空間Ⅲ：x1，x3。統計量的置信限均為0.99。

表1給出了PCA 方法和FVI 方法對兩個故障檢測得到的誤報率和漏報率，表中粗體表示檢測結果的最優值。從表1可看出，與PCA（T2，SPE）方法相比，FVI（BIC）方法的檢測效果更好。當誤報率在允許范圍內，對于故障1，PCA（T2，SPE）方法中T2統計量和SPE 統計量的漏報率均在90%以上，基本檢測不出故障；而FVI（BIC）方法中BIC 統計量的漏報率為0，可以準確地檢測出故障1。對于故障2，PCA（T2，SPE）方法中T2統計量的漏報率為13%，SPE 統計量的漏報率為85%，檢測效果較差；而FVI（BIC）方法仍然可以準確地檢測出故障。

為了更好地說明FVI 方法的有效性，圖3給出了兩種方法的統計量對數值例子中故障1 的莖葉圖，圖中縱坐標分別表示T2值、SPE 值和BIC 值。由圖3可知，對于數值例子中故障1，故障數據與正常數據的T2和SPE 值沒有明顯差別，說明T2和SPE 不能有效地區別正常數據與故障數據；而故障數據的BIC值明顯大于正常數據的BIC值,說明BIC能很好地識別故障。

4.2 TE 過程仿真

圖3 數值例子故障1 的 T 2、SPE 和BIC 莖葉圖Fig.3 T2,SPE and BIC stem plots of fault 1 in numerical example

TE 過程是基于實際工業過程的仿真實例，已經 被廣泛作為連續過程的策略、監視、診斷、優化的研究平臺。整個過程包含5 個主要操作單元，即反應器、冷凝器、氣液分離塔、循環壓縮機和汽提塔。TE 模型具有6 種操作模式，12 個操作變量和41 個測量變量，并且可以人工設定21 種故障工況[20-22]。

本文采用單模態數據作為過程數據，選取33個變量作為過程監控變量。在正常工況下，采集960個樣本作為訓練集；在故障工況下，每個故障采集960 個樣本作為測試集，故障均在第160 個采樣點加入。所取的置信限均為0.99。在21 種故障中，故障3、9 和15 難以檢測且對過程影響較小，因此，本文選取剩余的18 種故障用于檢測。

在PCA 方法中，首先對正常工況下的數據進行標準化，然后進行PCA 建模，采用方差貢獻度選取主元個數，設定方差貢獻度為0.85；在FVI 方法中，同樣先對訓練集進行標準化，接著進行PCA 分解，得到PCS 和RS，PCS 的維度為9，由交叉驗證得到。對33 個夾角值進行K均值聚類，3 個子空間的變量組成如表2所示。表3給出了PCA 方法和FVI方法對18 種故障的平均誤報率，表4給出了兩種方法對18 種故障的漏報率，表中粗體表示檢測結果的最優值。從表4可看出，對于18 種故障，FVI 方法對其中17 種故障均能達到最優的監控結果，僅故障13 較PCA 方法漏報率略高一些。同時可以發現，對于故障1，2，6，7，8，12，13，14，18，PCA方法和FVI 方法的漏報率都很低，這是因為上述故障幅度較大，很容易被檢測出來。而對于一些較難檢測的故障，如故障5，10，16，19，PCA（T2，SPE）方法的漏報率均超過了65%，而FVI（BIC）方法的漏報率均低于15%。這是因為PCA 方法在降維時丟失了一部分重要的信息，所以很難檢測出這些小的擾動。而FVI 方法在降維的同時保存了完整的變量信息，因而檢測能力顯著提高。

表2 3 個子空間的變量組成Table 2 Variable composition of three subspaces

表3 兩種方法的故障平均誤報率Table 3 Average fault alarm rate of two methods/%

表4 兩種方法的故障漏報率Table 4 Miss alarm rate of two methods/%

5 結 論

本文提出了一種新的基于全變量信息的子空間監控方法。基于PCA 分解，得到PCS 和RS，依據每個變量與PCS 和RS 相似性的高低來構造子空間，并在每個子空間中建立故障監控模型。相較于傳統PCA 方法，本文方法保存了全部過程變量，可以更充分地利用過程信息，數值仿真和TE 過程仿真說明了該方法的有效性，過程監控的效果得到了較大的改善。然而，對于實際生產過程，有時很難得到變量在子空間發生故障的先驗概率，因此本文方法在實際應用時會存在一定的局限性。

[1]Song Bing (宋冰),Ma Yuxin (馬玉鑫),Fang Yongfeng (方永鋒),Shi Hongbo (侍洪波).Fault detection for chemical process based on LSNPE method [J].CIESC Journal(化工學報),2014,65 (2):620-627

[2]Zhang Ni (張妮),Tian Xuemin (田學民),Cai Lianfang (蔡連芳).Non-linear process fault detection method based on RISOMAP [J].CIESC Journal(化工學報),2013,64 (6):2125-2130

[3]Kim D S,Lee I B.Process monitoring based on probabilistic PCA [J].Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems,2003,67:109-123

[4]Wang Xun,Kruger Uwe,Lennox Barry.Recursive partial least squares algorithms for monitoring complex industrial processes [J].Control Engineering Practice,2003,11:613-632

[5]Kruger Uwe,Dimitriadis Grigorios.Diagnosis of process faults in chemical systems using a local partial least squares approach [J].American Institute of Chemical Engineers,2008,54:2581-2596

[6]Ge Zhiqiang.Improved two-level monitoring system for plant-wide processes [J].Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems,2014,132:141-151

[7]Qin S J.Statistical process monitoring:basics and beyond [J].Journal of Chemometrics,2003,17:480-502

[8]Tong Chudong,Song Yu,Yan Xuefeng.Distributed statistical process monitoring based on four-subspace construction and Bayesian inference [J].Industrial and Engineering Chemistry Research,2013,52 (29):9897-9907

[9]Ge Zhiqiang,Zhang Muguang,Song Zhihuan.Nonlinear process monitoring based on linear subspace and Bayesian inference [J].Journal of Process Control,2010,20:676-688

[10]Ge Zhiqiang,Gao Furong,Song Zhihuan.Two-dimensional Bayesian monitoring method for nonlinear multimode processes [J].Chemical Engineering Science,2011,66:5173-5183

[11]Ge Zhiqiang,Song Zhihuan.Distributed PCA model for plant-wide process monitoring [J].Industrial and Engineering Chemistry Research,2013,52:1947-1957

[12]Zhang Muguang (張沐光),Song Zhihuan (宋執環).Subspace fault detection method based on independent component contribution [J].Control Theory and Applications(控制理論與應用),2010,27:296-302

[13]Zhang Yingwei,Chai Tianyou,Li Zhiming,Yang Chunyu.Modeling and monitoring of dynamic processes [J].IEEE Transactions onNeural Networks and Learning Systems,2012,23 (2):277-284

[14]Jiang Qingchao,Yan Xuefeng,Zhao Weixiang.Fault detection and diagnosis in chemical processes using sensitive principal component analysis [J].Industrial and Engineering Chemistry Research,2013,52 (4):1635-1644

[15]Lv Zhaomin,Jiang Qingchao,Yan Xuefeng.Batch process monitoring based on multi-subspace multi-way principal component analysis and time series Bayesian inference [J].Industrial and Engineering Chemistry Research,2014,53 (15):6457-6466

[16]Noriah M,Ian T.Variable Selection and interpretation of covariance principal components [J].Communications in Statistics -Simulation and Computation,2001,30 (2):339-354

[17]Bjorck A,Golub G.Numerical methods for computing angles between linear subspaces [J].Mathematics of Computation,1973,27:579-594

[18]Zhu P,Knyazev A V.Angles between subspaces and their tangents [J].Journal of Numerical Mathematics,2013,21 (4):325-340

[19]Bishop C M.Pattern Recognition and Machine Learning [M].Springer,2006:272-279

[20]Downs J J,Vogel E F.A plant-wide industrial process control problem [J].Computers and Chemical Engineering,1993,17 (3):245-255

[21]Ricker N L.Optimal steady-state operation of the Tennessee Eastman challenge process [J].Computers and Chemical Engineering,1995,19 (9):949-959

[22]Wang J,He Q P.Multivariate statistical process monitoring based on statistics pattern analysis [J].Industrial and Engineering Chemistry Research,2010,49 (17):7858-7869