在數學技能與數學思想之間

俞正強，浙江省小學數學特級教師，北京師范大學教育家書院兼職研究員，浙江師范大學碩士生導師，浙江省金華市環城小學校長。

“角的度量”這一課時，其基本目標是讓學生學會用量角器量角或用量角器畫出指定度數的角。其間含有關于角的度量單位與角的度量工具的認識，稱為知識。

與這些基本知識、基本技能連在一起的數學思想、方法是什么？結合本人對這一課時的教學，做如下探討。

一、從角的大小到形的賦值

材料呈現：

問題討論：

問題1：哪個角最大？哪個角最??？

結論：從①號角到⑤號角，越來越大。

（知識：角的大小跟兩邊叉開的大小有關。）

問題2：如果用一個數來表示角的大小，你會用哪個數來表示？

結論：①號角可以用數字0表示，因為它沒有大小。

（把①號角賦值為0，這對學生來說是自然而然的事，因為①號角沒有大小。但在學生的數學發展中，這是一個了不起的節點：因為他們完成賦形以數的創舉。數形結合思想，本質上是兩件事情，一是賦數以形，一是賦形以數，然后在形和數之間自由

穿行。）

問題3：如果①號角用數字0表示，那么②號角可用數字幾呢？

結論1：45。

（此一結論，多為學生已學過銳角、直角等有關角的度數。）

師：同學們，有人說用45°來表示②號角的大小，有不同意見嗎？

生：沒有。

師：如果我們用10°來表示這個角的大小，可以嗎？

生：不可以，因為如果這樣的話，全亂了。

生：也是可以的。因為如果這個角是10°的話，那③號角就是20°，從此之后，直角就不是90°，而是20°了。

（全班學生大笑）

生：如果按照老師所說的，那②號角用100°來表示也可以呀。

師：大家認為呢？

生：可以吧，想它是幾就是幾。

（這一段對話所反映出來的是學生對賦形以數的詫異與好玩。）

問題4：在對這5個角定數字時，你認為最特別的角是哪個？我們這樣變來變去，有沒有不變的？

結論1：①號角始終不變。它的大小不是由我們定的，始終是0。

結論2：不管我們怎么變，這些角都以②號角為標準，③號為兩個標準，⑤號為4個標準。

（數學學習至此，數學已是活的了，學生也已經體會到標準的意義以及標準的影響力。這些東西，是數學中深刻影響一個人思維品質的東西。）

二、度量，是與標準比較的行為

將第一份材料從右到左，不斷將小的角與大的角結合，形成如下材料。

問題1：當我們把5個角放置在一起時，原來共有的10條邊只剩下5條，還有5條邊到哪里去了？

結論：其實有6條邊在0這個地方重合了。

（強化0度線，它是所有角共有的一條邊，任何一個角均有一條邊在此重合。）

問題2：現在黑板上出現⑥角，有誰能把這個角放進這個圖中。

結論：頂點在中心點A，一邊在0即可。

問題3：這個被放進去的角的大小可用哪個數字表示？

結論：15到18之間。

（度量，本質上是與標準相比較的行為與結果，學生把一個新的角放進這個框架中比較，是件自然而然的事情，沒有任何難度。放進去的要點是頂點對著中心點，一邊對著0邊，技能會慢慢成熟起來。）

三、工具，是對標準的固定與移動

材料1：單圈量角器

問題1：同學們，請看量角器，它與我們黑板上的圖有什么不同？

結論1：標準不同，有單位度，中心點為0°，其他都一樣。

結論2：黑板上的圖不能移動，我們只能用角與它比，量角器可以移動，比較方便。

問題2：你能用量角器去量一個角嗎？試試看。

結論：中心點對頂點，0邊對角邊。

（教師已經不需要教這些技能了，只需要用一個角去比較標準，反過來用這一標準去比較角而已。工具的意義便可以在此體驗。）

材料2：雙圈量角器

問題1：這個量角器與之前的量角器有何不同？

結論：有內外兩個讀數圈。

問題2：為什么要用兩個讀數圈呢？

結論：角可以從右往左不斷變大，也可以從左往右不斷變大。

（從量角器的內外圈回到第一組材料的另一種序，說明在學生的眼里，量角器已經是一個“活”的工具了。）

四、技能，是自然而然的思想結果

現在，我們重新回顧一下角的度量技能是如何落實的。

（1）角是有大小的。（知識復習）

（2）大小可以用數來表示。（賦值，數形結合可以這樣培養）

（3）表示其中一個角，其他角便因此也都能表示了。（標準的意義）

（4）任何一個角，都可以通過與標準的比較確定數值。（度量技能）

角的度量技能，是這一過程中自然而然形成的。對學生而言，這一課時，好像不是從量角器的認識、使用開始，但卻以量角器的使用、認識結束。

工具只是工具而已，是一個末，當教學將“末”當成“本”，教學就會變得不是那么一回事了。

五、思想，離不開知識這一載體

縱觀小學數學知識學習，數形結合這一數學思想的培養與落實，體會賦數以形的內容十分之多，但體會賦形以數的材料卻比較少，而這一課時，是讓小朋友體會賦形以數的比較好的機會，對于好的機會，我們絕不能錯過。

（責任編輯：孫建輝）