曲線的副法線曲面及其性質研究*

梁林

（楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000）

曲線的副法線曲面及其性質研究*

梁林

（楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000）

摘要：通過類比一般空間曲線、曲面的研究方法，討論了三維歐氏空間中曲線的副法線曲面，給出了副法線曲面的漸近線和曲率線；再由高斯曲率、平均曲率，得到了副法線曲面上常高斯曲率曲線、極小軌跡；最后，利用高斯曲率和平均曲率之間的線性關系和平方關系，得到了副法線曲面的分類定理。

關鍵詞：副法線曲面；高斯曲率；極小軌跡；主曲率

曲面是經典微分幾何研究的主要對象，它有許多豐富的性質，而微分幾何學家常致力于一些特殊曲面的研究，以期擴寬曲面的知識。文獻［1］討論了三維歐氏空間中特殊曲線的主法線曲面。根據漸近曲線的方程，具體給出主法線曲面的一族非直線的漸近曲線，再根據平均曲率、高斯曲率及主曲率函數，得到曲線的主法線曲面的極小軌跡、常高斯曲率曲線及兩個主曲率函數之比為常數的曲線，還給出了曲面上測地線和腰曲線的性質.本文利用類比的研究方法，討論了三維歐氏空間中曲線的副法線曲面，獲得了副法線曲面的漸近線和曲率線、常高斯曲率曲線、極小軌跡以及副法線曲面的分類定理。由于副法線曲面屬于可展曲面的范疇，因此對副法線曲面的研究可豐富可展曲面的相關內容。

1.　預備知識

相應地，曲面的第一基本形式、單位法向量、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率和兩個主曲率函數分別由（1.2）-（1.7）給出：

2.　主要結論

2.1副法線曲面的漸近曲線和曲率線

根據漸近曲線和曲率線方程得到下面定理：

其中c1為常數。

證明副法線曲面的漸近線曲線方程為

化簡得

即

所以漸近線方程為

定義2.1.3［1］在三維歐氏空間中，如果兩條空間曲線Γ和Γ1之間建立這樣一種關系，使得在對應點上Γ的主法線和Γ1的副法線重合，則稱Γ為Mannheim曲線，Γ1為Mannheim侶線，（Γ，Γ1）稱為Mannheim侶線對。

引理2.1.4［1］一條空間曲線為Mannheim曲線的充分必要條件是其曲率和撓率滿足k=λ（k2+τ2），其中λ為非零常數.

定理2.1.5在Mannheim曲線Γ的副法線曲面上，其一族非直線的漸近曲線方程為

定義2.1.6［1］如果曲線Γ和Γ1之間建立這樣的一一對應關系，使得在對應點的主法線重合，則這兩條曲線都稱為Bertrand曲線，其中每一條稱為另一條的侶線。

引理2.1.7［1］一條空間曲線為Bertrand曲線的充分必要條件是其曲率和撓率滿足λk+uτ= 1，其中λ，τ為常數，而且λ≠0.

定理2.1.8在Bertrand曲線Γ的副法線曲面上，其一族非直線的漸近曲線方程為

證明曲線為曲紋坐標網的充要條件為L=N=0，由（1.4）得kv2τ2+k-vτ′=0，從而有

定理2. 1. 10 Mannheim 曲線的副法線曲面的曲紋坐標網是漸近網的充分必要條件是

定理2.1.11Bertrand曲線的副法線曲面的曲紋坐標網是漸近網的充分必要條件是

其中，k，τ分別為曲線r→（s）的曲率和撓率。

證明副法線曲面的曲率線方程為

化簡得

從而

推論2.1.14當λ＞0時，Mannheim曲線的副法線曲面的曲率線方程為

推論2.1.15Bertrand曲線的副法線曲面的曲率線方程為

2.2副法線曲面上常高斯曲率曲線

證明設高斯曲率K=-a2，下面不妨取τ＞0，此時由（1.5）有

即

所以

從而常高斯曲率曲線為

引理2.2.3［3］一條空間曲線為一般螺線的充分必要條件是它的曲率和撓率之比為常數。

由引理2.2.3可看出推論2.2.5是定理2.2.4的直接結論。

2.3副法線曲面的極小軌跡

其中，k，τ分別為r→（s）的曲率和撓率。

證明設副法線曲面的極小軌跡為

由（1.6）式及平均曲率的定義，有

即

從而有

所以副法線曲面的極小軌跡為

2.4 Weingarten型副法線曲面

定義2.4.1［4］若曲面S的Gauss曲率K和平均曲率H滿足函數關系式f（H，K）=0，則稱曲面S為Weingarten型曲面或Weingarten曲面。

定理2.4.3不存在高斯曲率為非零常數的副法線曲面。

上式是關于v的多項式，則

即c=τ=0，矛盾，定理得證。

則

所以k=0且τ=常數，從而曲面為平面。

用類似的方法，可以得到定理（2.4.5）—定理（2.4.8）.

參考文獻：

［1］袁媛，劉會立.曲線的主法線曲面 ［J］.東北大學學報 （自然科學版），2007，28 （01）：145-148.

［2］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［3］陳維桓.微分幾何［M］.北京大學出版社，2006.

［4］袁媛，張金亮，李春秀，劉會立.三維Minkowski空間中的平移曲面［J］.東北大學學報，2009（02）：302-304.

（責任編輯李艷梅）

中圖分類號：O186.1

文章標識碼：A

文章編號：1671-7406（2015）03-0001-05

*基金項目：楚雄師范學院國家自然科學基金孵化項目。

收稿日期：2015-01-12

作者簡介：梁林 （1967—），男，碩士生導師，教授，研究方向：微分幾何及其應用。

Research on the Binormal Surfaces of Curves and Their Properties

LIANG Lin
（School of Mathematics&Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong，675000，Yunnan Province）

Abstract：By analogy to the research methods on the general space curves and surfaces，We discussed the binormal surfaces，and get the asymptotic curves and curvature.Then，based on the Gaussian curvature and the mean curvature，the curves with constant Gaussian curvature and minimal locus are obtained. It follows that some theorems of classification of those binormal surfaces are given by virtue of the linear and square relationships between the Gaussian curvature and the mean curvature.

Key words：binormal surfaces；Gaussian curvature；minimal locus；principal curvature