聾校數學中的三類基本思想及其教學啟示*

蘇 明 強肖 非

一、問題提出

(一)特殊教育提升計劃要求提升教育教學質量和教師專業水平

為了深入實施《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020 年)》，加快推進特殊教育發展，大力提升特殊教育水平，切實保障殘疾人受教育權利，2014 年1 月教育部等制定并頒布了《特殊教育提升計劃(2014—2016 年)》，明確指出2014－2016年的總體目標、重點任務和主要措施，提出了“提升教育教學質量”和“根據國家義務教育課程標準，結合殘疾學生特點和需求，制訂盲、聾和培智三類特殊教育學校課程標準，健全適合殘疾學生學習特點的教材體系，提高特殊教育教師的專業化水平”的重點任務。研究聾校數學中的三類基本思想及其教學，是提升聾校教師教學水平以及教育教學質量的重要基礎。

(二)聾校數學課標(送審稿)提出“基本思想”的目標要求

2014 年7 月教育部組織專家審定并形成了《全日制聾校義務教育數學課程標準(送審稿)》(以下簡稱為《聾校課標送審稿》)，在《聾校課標送審稿》的總目標中指出“通過聾校義務教育階段數學學習，聾生能:初步獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。聾校數學課程目標在原來“雙基”(即基礎知識、基本技能)的基礎上，拓展到了“四基”(即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)，增加了“基本思想”和“基本活動經驗”的目標要求，其中將數學的“基本思想”列為課程目標，這是我國聾校數學教育的一次重大進展和突破，對聾生后續的數學學習和未來的生活工作，都將有著深遠的意義。

(三)普通教育提出數學思想是數學課程教學的精髓

《義務教育數學課程標準(2011 年版)解讀》指出:使學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標，數學課程固然應該教會學生許多必要的知識，但是絕不僅僅以教會數學知識為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數學思想，數學思想是數學科學發生、發展的根本，是探索研究數學所依賴的基礎，是數學課程教學的精髓。［1］日本數學家米山國藏認為:“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、數學的方法隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”［2］

基于以上三方面的考慮，筆者認為聾校數學中的基本思想是今后聾校數學教學的一個重要研究問題。因此，本研究試圖根據《聾校課標送審稿》的內容標準，梳理義務教育階段聾校數學的知識體系，挖掘出這些數學知識所蘊含的數學思想，從中歸納出三類基本思想，并給出相應的教學建議，旨在為貫徹落實聾校數學課程標準理念，提升聾校數學教學質量和教師教學水平，做一次學科研究的嘗試，提供一種教學實踐的參考。

二、基本思想

數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。［3］數學中的基本思想是數學產生、發展和應用所依賴的最為重要的思想。史寧中認為:數學思想本質上有三個，第一個是抽象，第二個是推理，第三個是模型。［4］因此，可以將聾校數學的三類基本思想概括為:抽象思想、推理思想和建模思想。

聾校義務教育階段數學課程，在充分考慮聾生數學學習的特點、認知規律和心理特征的基礎上，共安排了四個部分的課程內容:“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”。其中“數與代數”、“圖形與幾何”是聾校數學課程的主要內容，下文將結合這兩部分課程內容，闡述聾校數學中的三類基本思想。

(一)抽象思想蘊涵在數學概念的產生過程

數學概念是數學學習的重要基礎，是數學知識的重要內容。在聾校數學中，數學概念主要有:數的概念、運算的概念、方程的概念、圖形的概念、周長的概念、面積的概念和體積的概念等。在這些數學概念的形成、理解和深化的過程中都蘊涵著抽象思想，主要包括對應思想、數形結合思想、分類思想、集合思想等。

1.在概念的形成中蘊含著對應思想

義務教育階段聾校數學中的數學概念一般都是來自于生活，在這些數學概念的形成中，一般都必須經過一個生活問題數學化的過程，這是一個逐步抽象的過程。在數學上，經過抽象后的結果都用一個對應的符號進行表征，將相應的數學符號與數學概念對應起來，比如:將一個蘋果、一個香蕉、一頭牛、一匹馬等抽象出數量“一”，并用對應的符號“1”進行表示等等，這里蘊涵著對應思想。在聾生數學學習過程中，將一個數學概念與一個數學符號建立起一一對應關系，這是后續數學學習的重要基礎。

2.在概念的理解中蘊含著數形結合思想

數學概念是客觀事物的數量關系和空間形式進行抽象的結果，具有高度的抽象性，一般比較難于理解，這是造成聾生數學學習困難的主要原因。因此，聾生在數學概念的理解過程中，常常需要借助一些具體的直觀手段，用直觀的“形”來描述表征抽象的“數”的概念。通過“以形助數”、“數形結合”的方式，幫助聾生更好理解數學概念，這個過程蘊涵著數形結合的思想，它是數學概念學習的一種重要方法和策略。如:在分數概念的學習中，常常需要借助長方形或圓形的紙片，通過對折并把其中的一部分涂上顏色，以此來幫助聾生理解平均分和1/2 這個分數;在自然數、小數、負數等概念的學習中，也常常需要借助“數軸”幫助聾生理解數的大小和相對位置等，在這里都蘊含著“數形結合思想”。

3.在概念的深化中蘊含著分類思想和集合思想

數學知識體系是通過一系列數學概念建構而成，分類是數學概念建構的一種重要方法。分類思想是聾生學習數學概念的一種重要思想方法，通過“分類”的思想方法，可以把無序變成有序，可以把雜亂無章變成條理清晰，從而增進對數學概念的深化理解，進一步完善已有認知結構。一般情況下，分類產生的結果就形成了新的集合。因此，在數學概念的深化理解過程中，常常蘊涵著分類思想和集合思想。如:在自然數和負數的概念基礎上，為了更為深刻理解整數、自然數和負數的概念，就必須把整數分成正整數、0、負整數，其中正整數和0 構成自然數;為了更深入理解三角形的概念，把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等。在這些數學概念的深化理解過程中，都蘊含著分類思想和集合思想。

(二)推理思想蘊涵在數學知識的發展過程

數學概念是數學發展的重要基礎，在數學概念基礎上經過一定的推演就可以產生一些新的數學結論，從而推動數學進一步發展，數學知識體系得以完善與建構。聾校數學的主要內容是在數、運算、方程、圖形、周長、面積、體積等概念的基礎上推演而成的一些數學結果，在這個過程中常常蘊涵著推理思想。推理是數學思考的一種重要形式，它是數學得以發展、數學知識得以建構的一種重要思想，主要包括歸納思想、轉化思想和類比思想等。

1.在數學結論形成中蘊涵著歸納思想

歸納是一種從個別事物特殊規律推演得出普遍事物一般規律的思維過程，它屬于合情推理。雖然通過歸納得到的結論不一定正確，但是通過歸納的思維形式得到的結論往往可能創新。因此，體會感悟歸納思想有利于培養聾生的創新意識和創新能力。聾校數學中的結論基本上都是通過不完全歸納得到的，比如:數的運算定律中的加法結合律、乘法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法對加法的分配律;數的整除性中的能被2 或5 整除的特征;三角形性質中的三角形三邊關系、三角形內角和;長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓等平面幾何圖形的周長公式、面積公式，以及長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的體積公式等等，這些重要數學結論都蘊涵著歸納思想。

2.在問題解決過程中蘊涵著轉化思想

數學學習過程從本質上說就是一個問題解決的過程。在問題解決過程中，不斷積累操作活動經驗和思維活動經驗。當面臨一個新的問題或復雜的問題時，常常需要將它變成一個舊的問題或者簡單的問題，把不能解決的問題轉化成能夠解決的問題。在問題解決過程中逐步形成的一種較為穩固的思維模式，這就是轉化思想。這是聾生數學學習的重要思想方法，有助于提高聾生的問題解決能力和學習的效率。比如:把小數四則運算的問題轉化成整數四則運算的問題，把異分母分數加減法問題轉化成同分母分數加減法問題;把平行四邊形或圓的面積轉化成長方形的面積問題，把梯形的面積問題轉化成平行四邊形的面積問題，把圓柱體的體積轉化成長方體的體積問題等。在這些新問題的解決過程中，都蘊含著轉化思想。

3.在數學新知探索中蘊涵著類比思想

推理包括合情推理和演繹推理兩種，類比是合情推理的重要內容。類比思想就是把兩個(兩類)不同的對象進行比較，根據一個已知對象具有某種屬性，推斷出另一個未知對象也具有這種相似屬性的思維模式，這種思想常常蘊含在數學新知的探索過程中。雖然通過類比得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，但是通過類比可以獲得一些有價值的猜想，有利于對數學新知的探索，也有利于聾生創新意識和創新能力的培養。比如:在加法交換律和結合律的學習之后，類比猜想這樣的運算規律在減法、乘法和除法中也成立;通過三角形兩邊之和大于第三邊這一規律的學習，類比猜想四邊形、五邊形、六邊形等也具有類似的規律等。在這些數學新知的探索與思考中都蘊涵著類比思想。

(三)建模思想蘊涵在數學知識的應用過程

《聾校課標送審稿》中指出:模型思想的建立是聾生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括:從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于聾生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言抽象、概括、表征研究對象的主要特征、數量關系所形成的一種數學結構。［5］因此，從這個意義上講，在聾校數學中，用字母、數字以及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、不等式以及各種圖表、圖形等都是數學模型。在這些知識的應用過程中都蘊涵著建模思想，它是數學與外部世界建立起密切聯系的重要橋梁。《聾校課標送審稿》在總目標中指出“通過聾校義務教育階段數學學習，聾生能初步體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系”。這也是聾生體會建模思想的具體目標要求。

三、教學啟示

《聾校課標送審稿》在實施建議中指出:“無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視聾生獲得知識技能，而且要激發聾生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數學的基本思想”。在聾校數學教學中，為了更好融入數學思想，啟發引導學生進行數學思考，讓聾生在數學學習中體會并感悟數學的基本思想，教師可以從以下三個方面入手。

(一)引導聾生經歷數學概念的產生過程，讓聾生體會抽象思想

聾校的數學來源于生活，義務教育階段聾校數學“數與代數”和“圖形與幾何”兩個部分中的數學概念主要包括以下幾個方面:第一，數的概念。主要包括自然數、整數、分數、小數、正數、負數、有理數等。第二，整除的相關概念。主要包括奇數、偶數;因數、倍數;質數、合數;最大公因數、最小公倍數等。第三，運算的概念。主要包括加法、減法、乘法、除法、乘方等。第四，運算定律的概念。主要包括交換律、結合律和分配律等。第五，圖形的相關概念。主要包括線段、射線、直線;角、平角、周角;鈍角、直角、銳角;平行和相交(包括垂直);平移、對稱和旋轉;長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓;長方體、正方體、圓柱體、圓錐、球。第六，圖形度量的概念。主要包括周長、面積、表面積、體積等。

聾校這些數學概念大致可以分成兩大類:一是數的相關概念，二是圖形的相關概念。它們都是產生于生活實際問題或者生活具體情景，是客觀事物在數量關系和空間形式上的抽象結果。在這些數學概念的教學中，應該引導學生經歷一個逐步抽象的數學化過程，讓學生體會數學的抽象思想，下面舉兩個例子說明。

比如，在數的概念《0 的認識》教學中，教師可以通過創設“小貓釣魚”的情境，給出情境圖(圖中有4只貓，釣魚竿后面的袋子中魚的數量不同，第一個袋子中有3 條魚，第二個袋子中有2 條魚，第三個袋子中有1 條魚，第四個袋子中“沒有”魚)。然后引導學生經歷以下逐步抽象的數學化過程:首先是“去情境”(去掉貓、釣魚竿等無關事物的具體形象，留下袋子和袋中的魚)，從整體情境中抽象出局部情境，這是第一步抽象。其次，在黑板上畫出“○”來表示“袋子”，用“△”表示“魚”，去掉事物(袋子和魚)的非本質屬性，突出魚的“數量”，并用圖形符號進行描述，這是第二步抽象。最后，再引導學生按照順序觀察“○”中“△”的數量，并用相應的數字符號(即3、2、1、0)表示出來，這是第三步抽象。這樣，在認識0 的學習過程中，不僅讓學生感受了0 的產生和意義，而且讓學生完整經歷了一次從生活到數學的逐步抽象過程，體會了抽象思想。

再如，在圖形概念《長方形的認識》教學中，教師可以列舉生活中的一些“具體事物”(如牙膏盒、肥皂盒、電冰箱等)，然后把它們抽象成都用“長方體模型”進行表示，再從長方體模型中抽象出一個“長方形面”，最后再從長方形面中抽象出“長方形”。在這個過程中，不僅體現了從整體到局部的認識過程，體現了數學的“體－ 面－ 形”的邏輯過程，而且還體現了“面”從“體”中來和“形”從“面”中取的基本過程。這樣，聾生就可以經歷一個“具體事物”→“長方體模型”→“長方形面”→“長方形”的逐步抽象數學化過程。在這個過程中，不僅有利于聾生抽象思維能力的培養，而且讓聾生充分體會了數學的抽象思想，為后續的數學學習奠定抽象的思維基礎。

(二)引導聾生經歷數學知識的建構過程，讓聾生體會推理思想

義務教育階段聾校數學“數與代數”和“圖形與幾何”兩個部分中的數學知識，主要包括以下三個方面的內容:一是在數的概念基礎上，逐步深入研究數的大小、數的性質、數的意義以及數的運算等，這些內容構成了聾校數學中“算術”的主要內容;二是在式的概念基礎上，逐步深入研究代數式、方程、等式的性質、不等式的性質以及解方程、解不等式等，這些內容構成了聾校數學中“代數”的主要內容;三是在圖形概念的基礎上，逐步深入研究圖形的特征、圖形的運動、圖形的變換以及圖形的度量(周長、面積、體積)等，這些內容構成了聾校數學中“幾何”的主要內容。以上聾校數學中的“算術”、“代數”和“幾何”三個方面的知識體系，都是在“數”、“式”和“圖形”等數學概念的基礎上，經過一定的邏輯推導而建構起來。因此在這些數學知識的學習過程中，教師不能僅僅讓聾生進行簡單模仿和機械記憶，而應該引導聾生經歷這些數學知識的邏輯推導和逐步建構的過程，從而體會數學知識建構發展過程中的推理思想。這樣才能在數學學習過程中培養聾生的邏輯推理能力。

比如:整數、分數、小數的四則運算是聾校算術的主要內容，整數的四則運算是算術的核心內容和重要基礎。當教學小數的四則運算時，教師應該引導聾生通過觀察、分析、比較等活動，將小數運算的問題轉化成整數的運算問題;當教學異分母分數加減法時，教師應該引導聾生將異分母分數的運算轉化成同分母分數的運算等。在這些問題解決過程中，都包含著轉化和類比等推理過程，蘊涵著推理思想。這樣不僅能夠培養聾生的問題解決能力，而且能夠培養聾生的類比推理能力。再如:方程和不等式是聾校代數的主要內容，方程是代數的基礎和重要內容。當教學解方程時，教師應該引導聾生通過觀察、操作等數學活動，利用等式的基本性質將方程轉化成形如“ax = b”的方程，這里蘊涵著轉化思想;當教學解不等式時，教師應該引導聾生通過觀察比較方程與不等式的異同，將解方程的方法和經驗類比遷移到解不等式中，這里蘊涵著類比思想。這樣不僅能夠幫助聾生建立一個比較完善的知識結構，有利于聾生的數學學習，而且能夠提高聾生的問題解決能力和類比推理的能力，為聾生后續的數學學習奠定推理的思維基礎。

(三)引導聾生經歷數學知識的應用過程，讓聾生體會建模思想

在聾校的數學教學中，教師不僅要讓聾生了解數學“從哪里來”，還要讓聾生知道數學“到哪里去”，讓聾生理解數學知識的應用過程。義務教育階段的聾校數學知識，如數學概念的產生、計算法則的由來、幾何形體的特征以及一系列的計算公式等，都體現著數學在現代生活、生產和科技中的應用。因此在聾校數學教學中，教師應該關注“現實情境——知識形成——揭示聯系”的抽象過程，讓聾生體會抽象思想，積累抽象的經驗，不斷培養抽象思維能力。與此同時還要重視“問題情境——建立模型——求解驗證”的建模過程，讓聾生體驗數學知識的實際應用，讓聾生知道生活到處都蘊含許多數學信息，并理解能夠用數學知識解決生活實際問題，增強數學的應用意識，提高數學的應用能力，同時也體會數學知識應用過程中的建模思想。

［1］［5］史寧中. 義務教育數學課程標準(2011 年版)解讀［M］.北京:北京師范大學出版社，2012:118.

［2］米山國藏.數學精神、思想和方法［M］. 成都:四川教育出版社，1986:18.

［3］中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準(2011年版)［M］.北京:北京師范大學出版社，2012:8.

［4］史寧中.數學的基本思想［J］.數學通報，2011(1):1－7.12