幾何概型中類似“貝特朗概率悖論問題”的一點思考

鄭 甜

（貴州省貴陽市第一中學）

新課標人教A 版高中數學教材中新增加了幾何概型的教學內容，在教學的過程中往往會遇到較大的困難，學生對于幾何概型的理解有一定的困難，特別是要讓學生對幾何概型的定義和特征進行把握。本文通過分析幾何概型中類似貝特朗概率悖論問題對幾何概型中的這一問題進行了闡述。

一、幾何概型的定義和特點

所謂的幾何概型是幾何概率模型的簡稱，也就是每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。高中數學中的幾何概型能夠在實驗中出現無限多個基本事件，而每個基本事件的出現都具有相等的可能性。在教學時教師要讓學生理解，在做幾何概型的題時要嚴格把握幾何概型的定義和特點，避免出現誤解。

貝特朗概率悖論問題一經提出就引起了數學界極大的震動。在新課標人教A 版高中數學教材中引入了古典概型和幾何概型的概念，并從古典概型入手，要求學生能夠對基本事件進行準確的計數和合理的描述。學生要能夠掌握幾何概型中的具體情境分析，能夠對基本事件的發生進行轉換，將其轉變為特定區域內的隨機取點。教材在幾何概型這方面旨在對學生的建模能力和類比猜想能力進行培養和提高，并在其中滲透了豐富的數形結合思想和等價轉換思想，是新課標人教A 版高中數學教材中的一項難點內容。

在教學的過程中，幾何概型的教學難點就在于如何讓學生把握住幾何概型的定義和特征，不要出現類似貝特朗概率悖論的問題。

二、貝特朗概率悖論問題

貝特朗概率悖論問題是一個著名的問題，其內容為“有一個半徑為1 的圓，在圓內隨機地將一條弦去除，那么弦的長度超過圓的內接等邊三角形邊長的概率有多大？”

該問題就有三種不同的解題方法，之所以會對同一種問題出現多種不同的解法，正是因為等可能的角度不同。

1.如圖1 第一幅圖，在垂直于三角形任意一邊的直徑上隨機取一個點，并通過該點做一條垂直于該直徑的弦，由圓內接正三角形的性質可得，在該點位于半徑中點的時候弦長度等于三角形的邊長度，當點離圓心的距離小于時弦長度大于三角形邊長。所以概率此時若設弦長為y，圓心到直徑上的這個點的距離為x，則，假定弦的中點在直徑上均勻分布，直徑上的點組成樣本空間Ω1。兩變量的變化率不一樣，不能用點離圓心的距離小于1 2 r 的概率取代弦長度大于三角形邊長的概率。

2.如圖1 第二幅圖，通過三角形任意一個頂點做圓的切線，因為等邊三角形內角為60°，所以左邊右邊的角都是60°。由該頂點做一條弦，弦的另一端在圓上任意一點。由圖可知弦與切線成60°角和120°角之間的時候弦長度大于三角形邊長，所以概率此時若設弦長為y，弦與該切線的夾角為x，則假定弦的另一端在圓周上均勻分布，圓周上的點組成樣本空間Ω2。兩變量的變化率不一樣，所以不能用弦與切線成60°角和120°角之間的概率取代弦長度大于三角形邊長的概率。

3.如圖1 第三幅圖，當弦的中點在陰影標記的圓內時，弦的長度大于三角形的邊長，而大圓的弦中點一定在圓內，大圓的面積是πr2，小圓的面積是所以概率假定弦的中點在大圓內均勻分布，大圓內的點組成樣本空間Ω3。

三、對貝特朗概率問題的分析

每一個弦都可以被其中點唯一決定。上述三種方法會給出不同中點的分布。方法1 和方法2 會給出兩種不同不均勻的分布，而方法3 則會給出一個均勻的方法。

在幾何概型中，對某一隨機事件的概率可以用體積、面積和長度來進行計算，其中的基本原理就在于每個基本事件都與一個點相互對應，這些點均勻分布，構成了空間幾何體、平面區域或者曲線段。盡管幾何概型與古典概型有一定的區別，不能用數事件的方式來對概率進行計算，但仍然可以以體積、面積和長度之間的比例來對事件的概率進行計算。

數學的解題方法可以有多種，但結果應該一致，所以貝特朗悖論所提供的幾種解法存在一定的問題，雖然其轉換過程并無問題，但是轉完之后導致了基本事件發生的可能性不等，因此貝特朗所構造的前兩種模型是不符合幾何概型的，不能用幾何概型的方法解決。

新課標人教A 版高中數學教材中加入的幾何概型內容是一個教學重點，也是教學的難點。本文通過對貝特朗概率悖論問題的三種解法進行分析，向學生闡明了在解答幾何概型題目時應該對幾何概型的定義和特征進行把握，避免出現誤解的現象。

張曉飛，鄧迎春.淺談以圓為載體的一類幾何概型的測度問題［J］.數理化學習：高中版，2014（03）.