高中數學“數列與差分”專題教學設計研究

◆朱旭春 周 紅

(山東省昌邑市文山中學)

一、引言

數學在我們的日常生活中十分有用。生產實踐中，很多事物情況的描述都可以使用數學模型表示。例如，在建筑領域中，電梯使用首先是建造出一個描述實際使用電梯的數學模型，然后再設計相應的PLC 程序指令完成這個數學模型的要求。高中數學在選擇部分出現了“數列與差分”這個專題，也是我們生活中常常遇到的問題。數列和差分屬于離散數學的一部分，是學生上大學之后，開展的高等數學學習的基礎。數列是通過離散的數字或是表達式反映數學模型。例如，中國福利彩票每期開獎數據，可以用數列表示出來，一些彩民就是利用長期數列查找出其中的一些數學模型及其規律。再如，滬深股票的漲跌數據，也是可以由一些離散的數列表示出來，操盤手利用平時的經驗，數據走向達到一定值時，開始進行運作。總之，數列在生活中的應用數不勝數。差分是對數列的進一步運算得出的，它實際上也是一種新的數列，是對原來數列規律的一種反應。如一個數列的一階差分數列是一組常數，則原數列就是線性函數列，也就是常說的等差數列，當一個數列的二階差分數列中出現了一個大于零的數時，原數列表示在坐標軸上的點就是從這個位置開始凹的，反之是開始凸的。

二、教學目的、內容和總體思路

高中數學本身的學習就是學生學習的難點，尤其是現在課程改革之后，很多時候將大學中的高等數學中的基本知識點下放到高中數學的選修部分中，這就給高中的教學工作帶來了不小壓力。導數、矩陣、布爾代數、數列和差分都屬于這種高等數學中基本的知識點，現在已經是高中數學的必修或選修的一部分。數列和差分是選修的部分，國家的普通高中數學教學課標對這部分的學習不是硬性要求，指出根據學校和教師情況逐步開設這部分內容，提高學生對數學學習的興趣，以及學生以后運用該知識解決問題的能力。

根據課標要求，數列和差分的學習涉及理解數列差分的概念;一階、二階差分對數列的描述含義;差分與數列的升降、最值、凸凹之間的聯系;一階線性差分的方程方面內容(齊次方程和差分為恒值的情況)。

這部分的教學主要分為兩大部分:差分概念及與數列的關系、差分方程。其總體思路為，從易到難，按照教材的順序，先講差分概念，再說與數列的關系，最后談一談差分方程方面的內容。講授過程中加強對教材的再次開發，從簡單的事例著手，從學生感興趣的問題談起，注重學習興趣在教學過程中的作用，同時注重教學內部的邏輯脈絡，注意啟發式教學在教學過程中的應用，引導學生積極思考差分與數列之間的關系。數學學習一方面注重教學內容的講解，另一方面加強學生實際演算能力，可以進一步加強對知識點的掌握和理解。最后是學習效果評價，這一部分是選修內容，在理解和掌握過程中一些學生存在難度，尤其是差分方程涉及的內容更加困難，所以評價過程以了解知道為主，不需要所有學生都能掌握運用。

三、具體設計

首先，開始講課之前，要求學生開展預習，提前一天布置學生復習數列的有關概念。如等比數列、等差數列的通項式、數列和的通項式、系數矩陣與方程組解的關系等。預習差分的有關概念。例如，一階差分、二階差分、(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程等。

其次，在課堂上，主要分為三塊內容——差分概念、與數列的關系和差分方程。第一部分，使用生活中的事例引出差分的概念，例如，開車時每小時記錄一下里程表上的公里數，將形成一個數列，再把這個數列每一項進一步相減，便是差分，由此引出其理論概念。進一步介紹這一次相減后的差分屬于一階差分，再減一次屬于二階差分，如此下去。這時可以啟發一下學生思考，我們的等差數列的一階差分是什么，從而引出差分與數列的關系，例如，一階差分是常數列，則原數列就是線性數列，就是通常所說的等差數列。進一步啟發式引導第二部分，差分與數列的升降、最值、凸凹之間的聯系。關于數列與差分的關系這部分知識點適合用啟發式的教學方法，因為這部分內容有一些是前面課程涉及到的，可以前后聯系，啟發式教學可以使得學生使用聯系的眼光看問題，對知識有整體的把握。在形成有效的整體感的同時，增加對數列和差分這部分知識掌握的興趣。第三部分與前兩個部分可能沒有什么表面上的聯系。可以先介紹一下差分方程的一系列概念，如(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程。然后啟發學生回想一下系數矩陣與方程組的關系，聯系現在學習的差分方程的解，思考兩者之間有什么相似處和不同處。這樣可以同時加深對這兩方面知識的掌握程度。在教學的過程中，要給足學生自己獨立思考、自己演算的時間，這樣他們對知識的理解將才有感性認識。同時要尊重學生的對知識點“質疑”，鼓勵學生將自己的“質疑”說出來，因為這種“質疑”就是他對這個知識的疑問，可能這也是其他學生都有的疑問，在教學的過程中暴露出來之后，教師進行正確地引導，可以及時糾正這種對知識點認識的偏差。

最后，布置一定的習題，鞏固其知識的掌握、糾正一些不正確的觀點，同時教師可以通過習題找出學生在哪些知識點上還存在問題，以便以后進一步講解，綜合評價學生的學習效果，分析教師的教學設計和方法是否存在進一步改善的地方。

四、結語

數列和差分是離散數學的基礎概念，是大學課程的一部分，近年來的教育改革，提出了學生學習能力的培養，大抓素質能力養成，所以一些大學里較為簡單的知識點進一步下放到高中，給學生提供進一步探究的領域，有效地引導學生自主學習，提高學習的積極性和興趣。高中數學中的數列和差分的內容屬于選修部分，同時這一部分內容難度還是很大的，對一些有能力的同學可以做適當的要求，但是不能對全體學生提出完全掌握的要求。總之，任何專題的教學設計都是多樣的，本人從自身的經驗角度，提出一些關于數列和差分專題的教學設計，望為他人教學提供有效參考。

［1］包蕾.高中數學新課程教學設計的一般模式［J］.考試周報，2014，(65):122－123.

［2］李昌官.高中數學“導研式教學”研究與實踐［J］.課程·教材·教法，2013，(2):234－235.