滲透數學思想，提升解題能力

宋招春

摘 要：常用的邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用在數學中占有非常重要的地位，在高考中占有極為核心的分量，因其具有知識面寬、思維豐富等特點，常令學生望而生畏，出現欲速則不達、下手易錯等現象。以數學思想方法為統領，可突破解題思維防線，從而提升此類試題解題能力。

關鍵詞：數形結合；化歸與轉化；函數與方程

一、數形結合思想

數形結合思想，即用“數”微觀來研究“形”的性質，用“形”的直觀來探尋“數”的關系，其運用要注重“數”與“形”的有效轉化。因圓錐曲線研究本身具有代數與幾何的雙重角色，故數形結合思想顯得特別重要，而導數在研究函數的變化趨勢時若借助于“形”，則易提供解題思路。

例1.已知雙曲線x2-y2=1上一點P，F1、F2是雙曲線的左、右焦點，若△F1PF2是直角三角形，則這樣的點P有（ ）個。

A.0 B.2 C.3 D.4

分析：△F1PF2是直角三角形，可有三種情況：∠P為直角，∠F1為直角，∠F2為直角，當∠P為直角時，可聯想到以F1F2為直徑的圓，當∠F1，∠F2為直角時，作圖易得結論。正確答案為D。

小結：解題時，抓住△F1PF2有一內角為直角這一關鍵條件，依托線與雙曲線的交點來確定問題的答案，充分體現了數學解題中數形結合思想的實效性。

二、化歸與轉化思想

化歸與轉化的思想是指在研究數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略。化歸與轉化思想的原則是將復雜問題化為簡單問題，將較難問題轉化為較容易的問題，將未知問題化為已知問題。

例2.設p：log1（x-3）>0，q：6x2-5x+1>0，則q是p的（ ）

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分必不必要條件

分析：首先將命題p，q對應的式子進行簡化，使其為最簡形式，然后再將“求q是p的什么條件”轉化為“求p是q的什么條件”。最后利用集合的“小充分大必要”原理進行判斷，并得出結論。正確答案是A。

三、函數與方程思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

例3.已知函數f（x）=x3-ax2+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1。（I）求a、b的值。（II）設函數g（x）=-（1+k）x2，當x∈（0，3），K≥0時，是否使函數f（x）的圖象總在g（x）的下方，若存在，則求K的正整數值，若不存在，請說明理由。

分析：（I）由導數的幾何意義及切線方程，可得兩個方程，即可解出a，b的值。（II）解題先利用導數探究單調性，后確定最大值，以最大值是否小于零來判斷f（x）<0恒成立與否。

小結：此題的第一部分體現方程思想，即尋找關于a、b的等式關系，解之即可，第二部分體現了函數思想，以函數的圖象來展現問題的本質，為解題提供思維。

編輯 張珍珍