構造虛擬閉合電路 求解感生電動勢

王松濤

（中山市華僑中學 廣東 中山 528400）

【例1】如圖1，半徑為R的圓形區域內有隨時間變化的勻強磁場，磁感應強度隨時間均勻增加的變化率為k（k為常量），磁場方向與圓形區域垂直，在圖中垂直紙面向里.一長為2R 的金屬直桿ac 處在圓形區域所在平面，ab 段正好在磁場內，bc 段位于磁場外，且ab＝bc＝R，求桿中的感應電動勢.

圖1

要解決這一問題，首先回到電動勢這一概念的定義.所謂電動勢就是把單位正電荷從電源負極經電源內部移動到電源正極非靜電力所做的功.根據麥克斯韋電磁場理論，變化的磁場產生感生電場.電荷在感生電場中受到感生電場力，感生電場力等于電荷的電荷量與感生電場強度的乘積，F＝qE感，與感生電動勢對應的非靜電力就是感生電場力，故ac棒的感生電動勢為

但直接去求感生電動勢需要求出ac 棒上各點的感生電場強度，同時還需要進行積分，非常復雜.如果能夠構造一個包含該部分導體的閉合電路，就可以利用法拉第電磁感應定律進行求解了.

根據對稱性，圓形區域內的磁場磁感應強度均勻增大的過程中，紙面內的感生電場的電場線是一系列沿逆時針方向的同心圓，如圖2所示.

圖2

先求棒ab 部分的感生電動勢.構造虛擬的閉合電路Oab 如圖3所示，閉合電路的感生電動勢

由于感生電場強度的方向與Oa 和bO 垂直，即沿Oa 和bO 移動電荷時，感生電場力不做功，故

由法拉第電磁感應定律閉合電路的感生電動勢

圖3

棒bc 部分處于磁場區域之外有沒有產生感生電動勢呢？構造虛擬的閉合電路Obc 如圖4所示.由于感生電場強度的方向與Ob和cO 垂直，即沿Ob和cO 移動電荷時，感生電場力不做功，故

由法拉第電磁感應定律閉合電路的感生電動勢

圖4

棒ac 的感生電動勢

事實上，可以構造虛擬閉合電路Oac 直接求出棒ac 的感生電動勢.如圖5，有

其中

顯然計算結果相同.這表明導體棒ac 產生的感生電動勢與如何構造假想的閉合電路并無關系.根據麥克斯韋電磁場理論，均勻變化的磁場產生穩定的感生電場，這一感生電場與閉合電路存在與否無關，通過本例正好印證了這一點.

圖5

【例2】如圖6所示，用均勻導線做成的長方形線框abcd 中，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，e，f分別為bc 與ad 的中點，在長方形線框的左半部分abef 區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度隨時間均勻增加，其變化率為k，則e和f 兩點間的電勢差為多少？

圖6

圖7

解析：本例見諸于各類習題資料中，但存在著許多混亂與錯誤，其中最常見的是認為線框fabe 段處在變化的磁場中，相當于電源，產生感生電動勢，而線框ecdf 段處于變化的磁場之外，相當于外電路，不產生感生電動勢.那么事實怎樣呢？

根據法拉第電磁感應定律閉合電路的感生電動勢

那么線框fabe 段產生的感生電動勢就是整個閉合電路的感生電動勢嗎？構造如圖7所示的虛擬的閉合電路fabef，根據對稱性可判斷，正方形閉合電路fabef 的4條邊對應的感生電動勢大小相等，則fabe段感生電動勢為

而對長方形線框dabcd 來說，總的感生電動勢等于左右兩部分線框感生電動勢之和，故右半部分線框ecdf 的感生電動勢為

如果構造虛擬的閉合電路fecdf，計算結果一致，同樣說明某部分導體產生的感生電動勢與所假想的閉合電路無關，這正是麥克斯韋電磁場理論的本質要求.

近年來，高考提高了對感生電場的考察，例如2012年福建卷的第22題、2014年安徽卷的第20題等.只有經歷從看得見的具體有形的閉合電路到假想的虛擬的閉合電路去理解感生電動勢的產生，才能逐步體會到均勻變化的磁場所產生的穩定的感生電場的客觀存在性.只有經歷這種從具體到抽象的思維上升，也才算是初步正確認識到電磁感應的實質，從而更好地適應高考的能力要求.