“場力做功”的特點都一樣嗎？

沈志輝

（上海市松江一中 上海 201600）

場是物質存在的兩種基本形態之一，存在于整個空間.簡單地說，物理學中所說的“場”就是具有某種物理作用的空間.在這個空間里可以測量到反映物體作用的物理量.每一種場都有對應的物理特性或物質屬性，例如電磁場對應于電磁特性.電磁場是由具有電磁性的物體產生的，并且只對具有電磁性的物體產生作用.

1 問題的提出

在歷史上，場的概念主要是從牛頓提出萬有引力定律開始，牛頓理論清晰地告訴人們關于超距作用的思想.牛頓的后繼者們在某些方面甚至比牛頓走得更遠，在牛頓超距作用理論的影響下建立了不少電磁學理論，如庫侖定律、安培環路定理等，這些理論說明了引力、電力、磁力是同類力，是統一的.但牛頓的萬有引力定律不要求兩個物體接觸，這困擾了很多人，包括牛頓本人.

為了合理解釋這種超距現象，牛頓的后繼者中另外一些人則選擇了一條不同的道路，他們把看來像“超距作用”的力看做是靠充滿空間的一種介質傳遞的，這樣就把超距作用歸并到接觸作用的概念之中，這種觀點直接導致了“以太”假說的出現.笛卡兒于1644年最先將以太引入科學，并提出了引力的“以太漩渦說”.1820年4月，丹麥物理學家奧斯特發現導體中及其周圍空間會發生所謂的“電沖突”，并得出結論：電沖突只能對磁性粒子起作用，奧斯特的發現與牛頓的超距作用理論是矛盾的.1821年9月，法拉第受奧斯特的“電沖突”的啟發，歷經10年，發現了“電磁感應”現象，提出了“電致緊張狀態”和“磁感線”兩個概念.在接下來的日子里，麥克斯韋相繼發表3 篇論文：《論法拉第力線》、《論物理力線》、《電磁場的動力學理論》，文章指出：場是在一定空間連續分布的，變化的磁場產生渦旋電場，光波就是電磁波等，并明確宣告他提出的理論可以稱為“電磁場的理論”.緊接著，赫茲通過實驗證實了麥克斯韋電磁理論的正確性…… 現如今，實驗已經證明以太是不存在的.于是，人們逐漸意識到物質有兩種基本形態：實物和場.而且，我們也知道，物理學的發展，使實物和場走向統一.

所有的場都是可以測量到物理量的空間.每種場只與對應的特性或屬性相互作用.場之間沒有交叉作用.任何物質之間的相互作用都是依靠相應的場來實現的.如電場、磁場、引力場等.那么，場之間具有這么多的共性，是否意味著場力做功也具有相似的特點呢？這是值得我們研究的話題.本文就是在場的眾多共性基礎上，探討一下典型場力做功的特點，從而區分磁力做功擁有不同的一面.

2 典型“場力”做功的特點

2.1 引力場—— 重力做功

物體和地球構成一重力系統，物體所受的重力是系統的內力.現設質量為m 的物體從a 點沿任一曲線acb 運動到達b 點，a點和b 點對所選取的參考平面來說，高度分別為ha和hb，如圖1所示.

圖1

在位移元ds中，重力G 所做的功是

式中

就是在位移元ds中物體上升的高度，所以重力所做的功是

可見物體上升時（hb大于ha），重力做負功（A 小于零）；物體下降時（hb小于ha），重力做正功（A 大于零）.

從計算中可以看出，假使物體從a 點沿另一曲線運動到b點，所做的功仍如式（1）所示.由此可知，重力做功的特點是：做功只與運動物體的始末位置（ha和hb）有關，而與運動物體所經過的路徑無關.這個特點也可表述如下：當物體從a 點沿任一閉合路徑繞行一周時，重力所做的功為零.具有這種特點的力稱為保守力，那么引力場可稱之為保守場.

2.2 靜電場—— 電場力做功

設在給定點O 處，有點電荷q.現有試驗電荷q0在q的電場中從a 點經過任意路徑acb到達b點，如圖2所示.

在路徑中任一點c的附近，取與c極鄰近的c′點，從c到c′的位移元為dl，并設c點處的場強為E，可知在dl這段路徑上，電場力q0E 所做的功為

式中θ是E 的方向和dl的方向之間的夾角，已知

代入式（2），可得

圖2

當試驗電荷q0從a點移到b 點時，電場力所做的功為

式中ra和rb分別表示從點電荷q所在處到路徑的起點和終點的距離.由此可見，在點電荷q 的電場中，電場力所做的功與路徑無關，僅與試驗電荷電量的大小以及路徑的起點和終點位置有關.

任何靜電場都可看做是點電荷系中各點電荷的電場的疊加，試驗電荷在電場中移動時，電場力對試驗電荷所做的功也就等于各個點電荷的電場力所做功的代數和.用數學式表示時，可記作

式中ria和rib分別表示從點電荷qi所在處到路徑的起點a和終點b的距離.由于每個點電荷的電場力所做的功都與路徑無關，所以相應的代數和也與路徑無關.因而得出結論：試驗電荷在任何靜電場中移動時，電場力所做的功，僅與試驗電荷電量的大小以及路徑的起點和終點位置有關，而與路徑無關.這說明靜電場力也是保守力，靜電場也是保守場.

2.3 穩恒磁場—— 磁場力做功

載流導線或載流線圈在磁場內受到磁力（安培力）或磁力矩的作用，因此，當導線或線圈的位置與方位改變時，磁力就做了功.下面筆者就從一些特殊情況出發，建立磁力做功的一般公式.

2.3.1 載流導體在磁場中運動時磁力所做的功

設有一勻強磁場，磁感應強度B 的方向垂直于紙面向外，如圖3所示.磁場中有一載流的閉合電路abcd（設在紙面上），電流I保持不變，電路中導線ab之長為l，ab可以沿著da 和cb滑動.按安培定律，載流導線ab 在磁場中所受的力F，在紙面上，指向如圖所示.F 的大小F＝BIl，在力F 的作用下，ab將從初始位置，沿著力F 的方向移動.當移動到位置a′b′時，磁力F所做的功A＝Faa′＝BIlaa′.當導線在初始位置ab 和在終了位置a′b′時，通過回路的磁通量分別為Φ0＝Blda，Φ1＝Blda′，所以磁通量的增量為

可知在導線移動的過程中，磁力所做的功為

圖3

這一關系式說明，當載流導線在磁場中運動時，如果電流保持不變，磁力所做的功，等于電流乘以通過回路所環繞的面積內磁場量的增量；也可以說磁力所做的功，等于電流乘以載流導線在移動中所切割的磁力線數.

2.3.2 載流線圈在磁場中轉動動時磁力所做的功設有一載流線圈在勻強磁場內轉動，設法使線圈中電流維持不變.現在來計算線圈轉動時，磁力所做的功.

圖4

如圖4所示，設線圈轉過的角度dφ，使n與B 之間的夾角從φ 增為φ＋dφ.磁力矩為M＝BILsinφ，所以磁力矩所做的功

式中的負號表示磁力矩做正功時將使φ 減小.因為BScosφ 表示通過線圈的磁通量，而d（BScosφ）就表示線圈轉過dφ 后，磁通量的增量dΦ.所以式（5）也可寫成dA＝IdΦ.

當上述載流線圈從φ1 轉到φ2 時，按dA＝IdΦ，積分后得磁力矩所做的總功

式中Φ1和Φ2分別表示線圈在φ1 和φ2 時，通過線圈的磁通量.

可以證明，一個任意的閉合電流回路在磁場中改變位置或改變形狀時，磁力或磁力矩所做的功都可按A＝IΔΦ 計算，亦即磁力或磁力矩所做的功等于電流乘以通過載流線圈的磁通量的增量.

如果電流是隨時間而改變的，dA＝IdΦ 仍能適合，但這時磁力所做的總功要用積分式計算

這是磁力做功的一般表達式.

由此可見，磁力做功并不像重力做功、電場力做功那樣，看來磁力并非保守力，故磁場并非保守場.

3 為什么磁場不是保守場

與電場相仿，磁場是在一定空間區域內連續分布的向量場，描述磁場的基本物理量是磁感應強度矢量B ，也可以用磁感線形象地圖示.然而，作為一個矢量場，磁場的性質與電場頗為不同.

運動電荷或變化電場產生的磁場，或兩者之和的總磁場，都是無源有旋的矢量場，磁力線是閉合的曲線簇，不中斷，不交叉.換言之，在磁場中不存在發出磁力線的源頭，也不存在會聚磁力線的尾閭，磁力線閉合表明沿磁力線的環路積分不為零，即磁場是有旋場而不是勢場（保守場），不存在類似于電勢那樣的標量函數.

在一個物理系統里，假若感受著一個作用力的施加，一個粒子沿某路徑從初始點移動到最終點，而此作用力所做的物理功不會因為路徑的不同而改變，則稱此力為保守力.作用力為保守力，則它滿足以下的充要條件對于任何簡單的閉合路徑，所做的功是零.數學表達式是

在存在保守力的系統中，可以引入和位置有關的能，稱之為勢能，如電勢能、重力勢能.另外還可以引入勢的概念，并把這樣的力場稱為保守場，如重力場和電場等.反之，如果一個力做功和路徑有關，則稱該力為非保守力.有非保守力存在的力場稱為非保守場，如磁場等.

定理可以寫成

兩邊乘以qm0（試探點磁荷），就可以得到

也就是磁場力做功與路徑有關，因此說穩恒磁場是非保守場.概括的說，由安培環路定理可以看出，磁場中B的環流一般不等于零.綜上所述，穩恒磁場的特點與靜電場有所不同，靜電場是保守場，磁場是非保守場，故“場力做功”確有相似之處，但不盡相同.

1 程守洙，江之永.普通物理學（第4版）.北京：高等教育出版社，1994

2 馮杰.大學物理專題研究（第1版）.北京：北京大學出版社，2011

3 梁燦斌.電磁學（第2版）.北京：高等教育出版社，2004

4 郭碩鴻.電動力學（第2版）.北京：高等教育出版社，1998