“學生對數學結論本質的理解”淺談

李琪+賈清建

摘 要：教師在教學中有意識地滲透、強化教學思想和教學方法，通過例子說明理解基本的數學概念、數學結論的本質，才能使學生深入思考問題，最終提升學生的認知能力。

關鍵詞：本質 數學 探究 函數 應用 意義

普通高中《數學課程標準》明確指出：“獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中蘊含的數學思想方法，以及它們在后續學習中的作用。”這對數學教師提出了更高的教學要求，我們根據實際教學經驗，淺談以下三點教學體會。

一、中考、高考命題是《數學課程標準》的具體體現

學生對數學本質的理解及對數學本質的追求，是需要教師逐步培養的。隨著課改的深入，中考、高考的數學題目在難度上有所降低，但題目更為靈活，要求學生理解數學的本質，而不是簡單地做題。今年北京中考數學第16題就很好地體現了這一點。

閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題：

（1）尺規作圖：作一條線段的垂直平分線，已知：線段AB（見圖1）。

小蕓的作法如下：

（1）如圖2，分別以點A和點B

為圓心，以大于■AB的長為半徑作弧，

兩弧相交于C、D兩點；

（2）作直線CD，則直線CD就

是所求作的垂直平分線。

老師說：“小蕓的作法正確。”

請回答：小蕓的作圖依據是 。

我與一些教師進行了交流，有的教師問：“依據為什么不是三角形全等的判定？實際上可以從后面倒著進行分析：先有C、D兩點，再有直線CD（兩點確定一條直線）。C、D兩點很特殊，它們是等圓的交點，根據圓的特征得到C、D兩點到A、B兩點的距離分別相等（線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等）。這些都提醒教師在平時的教學中要注意數學本質的教學。

二、上有教育價值的數學課，教給學生真正的數學

課堂是教學的主陣地，教師要把定義、公式、定理的內涵挖掘出來，講清楚解題方法所應用的原理、思考方法等，讓學生真正地掌握數學基礎知識和基本技能。在一堂高中數學課上，教師精心設計了如下題目，并引導學生去探究，取得了很好的教學效果。

例：如圖3，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉后與點B繞點P旋轉后重合于點D。設CP=x，△CPD的面積為f（x）。則f（x）的最大值為 。

教師先讓學生觀察、思考例題中△CPD中邊長的數量關系：CD+CP+DP=8且CD是定長。在此條件下，什么時候△CPD的面積最大呢？學生主動探究：等周長并且有一邊長為定值的三角形中，什么樣的三角形的面積最大？

學生用課前準備好的細繩和直尺動手操作：假設三角形的一邊已經固定，另外兩邊長度和也確定，通過研究動點的軌跡得出，當三點構成等腰三角形時，△ABC的面積最大。

學生探究得出結論后，問題自然就解決了。通過探究學習，學生能很好地理解題目的本質，對知識點的理解也更為深刻。

三、以重要概念為載體，逐步提升學生對數學本質的理解

新課標強調對于數學概念的理解要以螺旋上升的方式教學，這就要求教師清楚學生的認知規律、知識現狀，只有知道學生的提升點在哪兒，才能依據新課標要求培養學生的認知能力。“自然這一巨著是用數學符號寫成的?！保ㄙだ裕祵W知識的抽象性決定了其應用的廣泛性。所以學生對于每次引入的符號都要清楚地理解。對于“函數”這一數學核心概念，從小學到初中的教材中已做了很多的鋪墊。首先，任何數字都是抽象的，它舍棄了觀察對象的其他一切屬性，而只關注其數量。數字“1”既可以代表一只筆，也可以代表一個蘋果或一本書。數字“1”就是忽略了筆、蘋果、書等事物的差異，而只從數量上加以抽象。其次，當遇到用數字難以表示的三種數：未知的數、任意的數、變化的數，就用字母來表示，進而出現了表示數的式子，這是進一步的抽象。雖然字母表示數也使數學變得抽象、難懂，但這極大地豐富了數學的內容，考查代數式之間的關系時就出現了方程、不等式；當一字母表示另外一個代數式的值時，就出現了一個數的變化引起另外一個數的變化，也就有了函數的影子，甚至有人認為代數式就是函數。至于函數y=f（x），則是更進一步的抽象。

除了講函數的章節，在其他章節的教學中，教師要抓住時機深化對函數思想的理解。在雙曲線的漸近線的教學中，怎樣更好地引入雙曲線的漸近線就是一個例證。在一次聽課的討論中，發現有些教師對漸近線的引入存在疑惑與誤區。下面摘錄幾位教師的發言：

師1：令■-■=0可以解出漸近線方程，感覺很突兀，有沒有好的解釋？

師2：令■-■=1，■，■…當1→0時，雙曲線就退化為漸近線。

師3：為什么會出現漸近線？怎么合適地提出漸近線？

師4：有的教師用電腦先畫出直線y=±■x，再讓學生看雙曲線與直線無限接近。

師5： x2-y2=0 x-y

2 1

3 2

100 99

x2，y2越大，x-y就越小。

平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關系，以及曲線與方程之間的一一對應關系，運用代數方法研究幾何問題。現在根據雙曲線方程研究曲線的性質，若用電腦先畫出直線y=±■x，再讓學生看雙曲線與直線無限接近，這樣就背離了解析幾何的本質特征。從上面的例子也可以看出，問題集中在怎樣使漸近線的引入更合理、更自然。若按課本上寫的“雙曲線向外無限延伸時，總局限于直線y=■x和直線y=-■x相交而分平面所成的、含雙曲線焦點的兩個角域內，并與兩直線無限接近……”這樣又像變魔術一樣變出一個漸近線，學生也不易理解。為了使漸近線的引入更加合理、自然，我們可以做兩方面的鋪墊：

首先，給出學生比較熟悉的幾類函數且其圖象有漸近線。如y=■，y=ax，y=logxa，這些函數的圖象都有漸近線，有了這些內容作為基礎，可以考查函數y=x-■的圖象，但為了準確地畫出它的圖象，我們需要把它的另外一條漸近線y=x畫出來（如圖5）。

其次，利用雙曲線的對稱性，把雙曲線的作圖問題轉化為某一范圍內函數的作圖問題?？梢韵犬嬰p曲線■-■=1的圖象，將雙曲線的方程變形為y=±■■=±■x■，利用雙曲線的對稱性，可以只考查雙曲線在第一象限的部分，即函數y=■■=■x■（x≥4）（如圖6）?，F階段雖然沒有極限的內容，但是學生已經有了極限的思想，所以當值越來越大時，y的值趨近于■x是不難理解的，然后再推廣到一般情形?？傊瘮底鳛槊枋隹陀^世界變化規律的重要數學模型，要結合具體問題，讓學生不斷加深對函數概念本質的認識和理解，這樣有利于學生對這一特定的、重要的變量之間關系的認識，有利于學生對數學與現實世界之間聯系的認識。教師只有挖掘數學知識的本質、揭示數學思維的特征，才有可能讓學生受益終身，才能使我們的教學更有意義。

參考文獻：

[1]數學課程標準研制組.數學課程標準解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]楊世明，王雪琴.數學發現的藝術[M].青島：青島海洋大學出版社，1998.

[3]張鶴.張鶴——分享數學智慧的人[M].北京：中國大百科全書出版社，2012.