具有伯努利分布丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計(jì)*

王建華

華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 南昌 330013

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具有伯努利分布丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計(jì)*

王建華

華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 南昌 330013

針對(duì)一類服從伯努利分布丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，討論了其保性能控制器的設(shè)計(jì)問題，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一類具有不確定性參數(shù)的離散系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，結(jié)合一個(gè)最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在性，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，通過仿真算例驗(yàn)證了此控制方法的有效性和可行性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；貝努力分布丟包；Lyapunov穩(wěn)定性；保性能；LMI

通過實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)被稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control System,NCS)[1-2],它融合了計(jì)算機(jī)、通信、網(wǎng)絡(luò)和控制等技術(shù)，具有連線少、信息資源能共享、易于維護(hù)和擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)。因此，NCS廣泛地被應(yīng)用到航天、通訊以及日常工業(yè)等領(lǐng)域，其研究也受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注，并成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。NCS各組件之間通過網(wǎng)絡(luò)傳輸信息時(shí)，不可避免地產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延與數(shù)據(jù)丟包而導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低，甚至可能會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因而要使NCS具有較好的性能，NCS控制器必須對(duì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延與丟包問題進(jìn)行補(bǔ)償。

目前，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)對(duì)時(shí)延與丟包問題的研究取得了初步成果。文獻(xiàn)[3]基于一定的數(shù)據(jù)包丟失率和恒定時(shí)延,系統(tǒng)被建模為由結(jié)構(gòu)事件率約束的異步動(dòng)態(tài)切換系統(tǒng)。利用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式描述,推導(dǎo)出由數(shù)據(jù)包丟失率約束的系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。為了降低對(duì)網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)囊? 文獻(xiàn)[4]針對(duì)具有固定時(shí)延和隨機(jī)丟包情況的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 采用狀態(tài)增廣以克服時(shí)延對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析的影響, 進(jìn)而考慮隨機(jī)丟包情況, 將增廣系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[5]針對(duì)一類馬爾科夫網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了均方指數(shù)問題。文獻(xiàn)[6]研究了一類具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。文獻(xiàn)[7]提出了一種時(shí)延相關(guān)狀態(tài)反饋控制方法,并將閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為離散時(shí)間切換模型，并通過構(gòu)造依賴于參數(shù)的Lyapunov函數(shù)給出了閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)方法。

本文針對(duì)一類具有不確定性參數(shù)的NCS,用一個(gè)二值分段函數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)包的丟失情況，且該二值函數(shù)的取值服從伯努利分布，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為服從伯努利分布的隨機(jī)離散閉環(huán)系統(tǒng)。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，結(jié)合一個(gè)最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在條件，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。

1 問題描述

考慮一類含不確定參數(shù)的線性離散系統(tǒng)，如下所示

其中，x∈Rn，u∈Rm，y∈Rr分別為狀態(tài)、輸入和輸出狀態(tài)向量。A,B和C分別為適維的系統(tǒng)輸入、輸出和傳輸矩陣的確定分量。ΔA為系統(tǒng)的不確定參數(shù)，且滿足ΔA=DF(t)E，D和E均為適維的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)是滿足FT(t)F(t)≤I的Legesgue 可測(cè)矩陣。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)延和丟包。為了分析問題的方便，本文作如下假設(shè)：

1)傳感器、控制器和執(zhí)行器均為時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)；

2)傳感器-控制器時(shí)延τsc,控制器-執(zhí)行器時(shí)延τca,且網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延有界，滿足0≤τ(k)=τca(k)+τsc(k)=d=T·N，其中T為傳感器的采樣周期，N為大于1的整數(shù)；

3)丟包服從某一確定的概率分布；

4)數(shù)據(jù)包傳輸過程中無(wú)時(shí)序錯(cuò)亂。

典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖(1)所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè)，考慮式(1)的離散控制模型，令狀態(tài)反饋控制器的控制增益為K，狀態(tài)反饋可表示為：

由于網(wǎng)絡(luò)帶寬有限，進(jìn)行數(shù)據(jù)包傳輸時(shí)會(huì)不可避免地發(fā)生丟包。假設(shè)控制器采用最新數(shù)據(jù)，若新的采樣數(shù)據(jù)可在一個(gè)采樣周期內(nèi)到達(dá)控制器，則控制器收到數(shù)據(jù)后立即計(jì)算控制量并輸出至執(zhí)行器，若在一個(gè)采樣周期內(nèi)控制器未收到數(shù)據(jù)包，則認(rèn)為丟包發(fā)生，此時(shí)控制量u=0。

為了描述數(shù)據(jù)包丟失，引入二值分段函數(shù)：

且服從伯努利概率分布

綜合考慮時(shí)延與丟包的影響，將式(2)～(3)代入式(1)，可得閉環(huán)控制系統(tǒng)：

針對(duì)系統(tǒng)(5),考慮如下性能指標(biāo)：

其中，Q為對(duì)稱正定陣。

令z(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-d)]，則系統(tǒng)(5)可寫為

相應(yīng)地，性能指標(biāo)式(6)可寫為

(8)

下面將給出系統(tǒng)(5)在性能指標(biāo)式(6)下的保性能控制律的設(shè)計(jì)方法。

2 控制器設(shè)計(jì)

定義1 對(duì)系統(tǒng)(5)和性能指標(biāo)式(6)，如果對(duì)任意的不確定參數(shù)矩陣ΔA，存在反饋控制增益K，使閉環(huán)系統(tǒng)(5) 穩(wěn)定，且相應(yīng)的性能指標(biāo)J∞≤J0，則稱K為不確定系統(tǒng)(5)的保性能控制增益。

引理1[8]針對(duì)任意矩陣W,M,N,F(t)，如果滿足FTF≤I,對(duì)于任一標(biāo)量ε>0, 如下不等式存在:

定理1 給定正定對(duì)稱矩陣Q，若存在正定對(duì)稱矩陣Xi(i=0,1,2,…,d)和矩陣Y，以及常數(shù)ε>0，使矩陣不等式

(10)

式中，

X=diag(X0,X1,X2,…,Xd)。

證明：若式(10) 成立，根據(jù)schur補(bǔ)原理，可得

令

P=diag(P0,P1,P2,…,Pd)，

則P=X-1=diag(P0,P1,P2,…,Pd)。

利用引理1，必有

即有

根據(jù)schur補(bǔ)原理可知，上式等價(jià)于

故

由于系統(tǒng)(7)是系統(tǒng)(5)的等價(jià)系統(tǒng)，因此要證明系統(tǒng)(5)穩(wěn)定只需證明系統(tǒng)(7)穩(wěn)定即可。現(xiàn)取Lyapunov函數(shù)為

沿系統(tǒng)(7)的任意軌線向前作差分必有

E[ΔV(k)]=E[V(k+1)-V(k)]=

E[(Ψ+ΔΨ)z(k)]ΤP(Ψ+ΔΨ)z(k)]-

根據(jù)式(18)可知E[ΔV(k)]<0，故系統(tǒng)(7)穩(wěn)定得證。 即有

根據(jù)式(18)可知

根據(jù)(21)可知，

(23)

由定義1可知，系統(tǒng)(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得證。

3 仿真算例

以如下所示網(wǎng)絡(luò)控制下的一個(gè)不穩(wěn)定模型為對(duì)象進(jìn)行仿真研究：

討論性能指標(biāo)式(6)：

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x(k)=[1.66-1.38]Τ，k≤0。系統(tǒng)存在丟包事件，并服從如下伯努利分布：

相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的保性能指標(biāo)為J0=15.1698。在此保性能控制律的條件下，閉環(huán)系統(tǒng)的控制信號(hào)曲線和狀態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3和4所示。顯然從圖中可以看出，系統(tǒng)存在服從伯努利分布的丟包時(shí)(如圖2所示)，在上述保性能控制器作用下，系統(tǒng)具備良好的穩(wěn)定性能和控制性能。

圖2 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)數(shù)據(jù)丟包分布

圖3 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制信號(hào)曲線

4 結(jié)論

針對(duì)一類服從貝努力分布丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，將其建模為一類不確定性的離散系統(tǒng)。并通過反饋將其轉(zhuǎn)換為含有不確定參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，結(jié)合一個(gè)最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在性，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，仿真算例驗(yàn)證了此控制方法的有效性和可行性。

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Guaranteed Cost Controllers Design for Networked Control System with Data Losses Obeying Bernoulli Distribution

WANG Jianhua

School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China

RegardingaclassofnetworkedcontrolsystemwithdatalossesobeyingBernoullidistribution，theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearched.Thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.BasedonLyapunovstabilitytheory,systemstabilityisdiscussed.Bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisdeduced.Moreover，basedonLMItoolbox,thecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed.Finally,thesimulationisincludedforexampletodemonstratetheeffectivenessandfeasibilityofthemethod.

Networkedcontrolsystem;DatalossesobeyingBernoullidistribution;StabilitytheoryofLyapunov;Guaranteedcost; LMI

*華東交通大學(xué)校立科研基金資助(13DQ04)

2014-07-10

王建華(1980-)，女，山東煙臺(tái)人，碩士，講師，主要研究方向?yàn)橹悄芙ㄖ刂坪途W(wǎng)絡(luò)化控制。

TJ765.2

A

1006-3242(2015)01-0010-05