平頂高斯光束通過復雜光學系統的傳輸特性研究

楊利茹　王峰　王春芳

摘要： 為研究平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統的傳輸特性，基于光學矩陣的方法和Collins公式導出了平頂高斯光束通過該復雜光學系統后的場分布的解析表達式和近軸光強分布值，進而分析了平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統后的傳輸特性。研究結果表明，平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統后，實際焦點位置和幾何焦點位置并不重合，即發生焦移現象。焦移量的大小與高斯光闌寬度及光闌與透鏡間的距離等因素有關，即在一定條件下，光闌寬度增大，相對焦移量變小，光闌與透鏡之間的距離與焦距的比越小，相對焦移量就越小。

關鍵詞： 平頂高斯光束； 光闌透鏡系統； 焦移

中圖分類號： TN 012文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.03.015

Abstract： In this paper， we study propagation properties of flattened Gaussian beam passing through a Gaussian aperturelens system. Based on the optical matrix method and Collins formula， the analytical expression of field distribution and axial intensity distribution of flattened Gaussian beam passing through the complicated system are obtained. Propagation properties of the flattened Gaussian beam passing through Gaussian aperturelens system are analyzed. Results show that， as the beam passing through the optical system， the actual focus position is not at the position of the geometric focus， that is， the focal shift occurs. The focal shift is not only determined by the width of the Gaussian aperture， but also affected by the distance between the aperture and lens distance. Under certain conditions， if the aperture width increases， the relative focal shift diminishes. The ratio of the distance between the aperture and lens and focal length is smaller and the relative focal shift is smaller.

Keywords： flattened Gaussian beams； aperturelens system； focal shift

引言在激光的實際應用中，往往要求光束的光強為均勻的平頂分布，自從Gori提出一種新的平頂高斯光束以來[1]，該模型便得到了廣泛的研究[27]。由于實際光學系統經常受到光闌及透鏡的限制，此類光學系統也很常見[810]，但對于光闌透鏡分離系統的研究卻很少，尤其是精確的解析式更是難以獲得。本文將采用光學矩陣的方法，將系統中的光學元件及傳輸路徑都以矩陣形式表示出來，然后從Collins公式出發[11]，得到精確的解析式，這對研究平頂高斯光束通過復雜光學系統提供了一種更為直觀的方法。通過計算表明，平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統后，實際焦點和幾何焦點位置發生偏移，即出現焦移現象，焦移量的大小與光闌寬度、光闌透鏡間距離有關。

（2）式中以A、B、C、D表示的矩陣代表了一般系統，在該系統中可以分別表示成M4、M3、M2、M1 4個矩陣相乘的形式，Δz為出射面到透鏡后焦面的距離。由Collins公式可推導出射面P處的橫向光場分布E0（x0，z）=iλB∫∞-∞E0（x0，0）×exp-ik2B（Ax20-2xx0+Dx2）dx0（3）將式（1）、式（2）代入式（3），并用積分公式可得∫∞0x2nexp（-a2x2）cos（xy）dx=（-1）nπ122-2na-（2n+1）exp-y24a2H2ny2a（4）式中H2ny2a為2n階的厄米特多項式。由此平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統的場分布公式轉化為E（x，z）=ik2Bexp-ikD2Bx2N+1ω20+ikA2Bexp-kxB24N+1ω20+ikA2B×

∑Nn=0-14n1n！N+1ω20nN+1ω20+ikA2B×H2nkxB2N+1ω20+ikA2B（5）為了便于繪圖和分析，還需計算接收面的光強分布，其分布式為I（x，z）=E（x，z）×E*（x，z）（6）圖2入射面平頂高斯光束橫向場分布（N=5）

Fig.2The plane of incidence flattened Gaussian

beam transverse field distribution2數值計算與分析設波長λ=1.06 μm，束腰寬度ω0為1 mm，薄透鏡的焦距f為200 mm，平頂高斯光束的階數N=5，高斯光闌的半寬a=0.3 mm。用Mathematica軟件做出入射面平頂高斯光束的橫向場分布圖，如圖2所示。取不同的s，以s與f的比值為變量，在其他參數與圖2的參數一樣的情況下做出平頂高斯光通過高斯光闌透鏡系統后的軸上光強分布，見圖3。在圖3（a）～（d）中，高斯光闌與薄透鏡的距離與焦距的比值分別為sf=1.0、sf=1.5、sf=2.0及sf=2.5。由圖可以看出，高斯光闌與薄透鏡之間的距離s與焦距的比（以下稱相對分離量sf）越小，相對焦移量Δzf越小，光強極大值也越小。圖4描述了相對焦移量Δzf、極大光強值Imax與sf的關系。考慮不同的高斯光闌的半寬a，其它參數與圖2的參數一樣，作出平頂高斯光束通過高斯光闌透鏡系統后的近軸上光強分布圖，見圖5。圖5（a）～（d），分別對應a/ω0=0.3、a/ω0=0.5、a/ω0=0.7和a/ω0=0.9，由圖可以看出a/ω0越大，平頂高斯光束通過光學系統后產生的焦移量就越小，而極大光強值增加。這是因為當光闌增大時，衍射現象越來越不明顯，當光闌增大到一定程度時，光線近乎直線傳輸，即光闌對光線的影響可近似忽略。此時，焦移量便越來越小，而極大光強（焦點處光強）就變得越來越大，如圖6所示。

3結論以矩陣光學理論為基礎，利用Collins公式研究了平頂高斯光束的傳輸規律。對平項高斯光束通過光闌透鏡系統后其軸上光強分布和焦移進行詳細研究，通過數值計算分析了各個參數對光強分布和焦移的影響，得到了精確直觀的解析式。結果表明：光強分布和焦移不僅與高斯光闌寬度有關，還與光闌與透鏡間的距離有關，即在一定條件下，光闌寬度增大時，相對焦移量變小，光闌與透鏡之間的距離與焦距的比越小，相對焦移量越小。研究結果對準確確定高斯光束通過光學系統后實際焦點位置和焦點運動規律有指導意義，具有一定的實際應用價值。參考文獻：

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（編輯：劉鐵英）