回歸分析與獨立性檢驗

金石

回歸分析與獨立性檢驗是常見的統計方法，這部分內容多出現在高考試題中，更是近幾年高考的熱點. 此部分知識主要考查同學們的統計基本思想及初步應用，試題難度為中等偏上.

重點難點

重點：理解回歸分析、獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

難點：回歸分析中殘差變量的解釋與分析，相關系數、指標R2的理解；獨立性檢驗中隨機變量K2的含義.

方法突破

（1）回歸分析中重點考查的是對兩個線性相關關系的變量的研究，具體步驟是：①畫散點圖；②利用最小二乘法求回歸直線方程中的■=■=■，■=■-■■；③用回歸直線方程進行預報.

（2）首先要充分理解獨立性檢驗原理. 獨立性檢驗原理指的是在一個已知假設下，如果一個與該假設矛盾的小概率事件發生，就判斷這個假設不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率. 在解決具體問題時通過計算隨機變量K2=■的觀測值k（注意公式中a，b，c，d，a+c，b+d，a+b，c+d在2×2列聯表中的位置），并且在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0，那么犯錯誤的概率不超過k0對應的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得出有多大的把握認為兩個分類變量有關.

典例精講

■例1 某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：

■

根據上表可得回歸方程■=■x+■中的■=9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（ ）

A. 63.6萬元 ？搖 B. 65.5萬元？搖？搖

C. 67.7萬元 ？搖 D. 72.0萬元

思索 由于回歸直線過樣本點的中心（■，■），所以利用所給數據求出■，■，將其帶入回歸方程中，求出■，從而得出回歸直線方程；再令x=6，求得■的值即為本題的答案.

破解 由已知可得■=■=3.5，■=■=42，所以樣本點的中心為（3.5，42），且■=9.4. 由此得■=■-■■=42-9.4×3.5=9.1. 所以回歸直線方程為■=9.4x+9.1. 當x=6時，■=65.5萬元，故選B.

■例2 某地區2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：

■

■

（1）求y關于t的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

■=■，■=■-■■.

思索 利用所給數據和回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式求出■，■，進而得到回歸直線方程. 利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，可以從正負相關及該地區農村居民家庭人均純收入每年變化幅度方面加以說明. 預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入，可將2015年的年份代號9代入所求的回歸直線方程求出■即可.

破解 （1）由所給數據計算得■=■（1+2+3+4+5+6+7）=4，■=■（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，■（ti-■）2=9+4+1+0+1+4+9=28，■（ti-■）（yi-■）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，■=■=■=0.5，■=■-■■=4.3-0.5×4=2.3. 故所求回歸方程為■=0.5t+2.3.

（2）由（1）知，■=0.5>0，故2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 將2015年的年份代號t=9代入（1）中的回歸方程，得■=0.5×9+2.3=6.8，故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.

■例3 通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：

■

由K2=■算得K2=■≈7.8.

附表：

■

參照附表，判斷下列結論正確的是（ ）

A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

C. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

D. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

思索 由所給隨機變量K2的觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0，那么犯錯誤的概率不超過k0對應的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得到有多大的把握認為兩個分類變量有關.

破解 由于K2的觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0=6.635，那么犯錯誤的概率不超過k0對應的P（k≥k0）=0.010即為判斷犯錯誤的概率，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”. 也可以表示為有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”. 故選C.

■例4 為調查某地區老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：

■

（1）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？

附表：

■

K2=■.

思索 首先將2×2列聯表補充完整，可以清晰地得出調查的500位老年人中有多少位需要志愿者提供幫助，這樣就可以得出該地區老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值了. 再由所給隨機變量K2公式求出觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k■的臨界值k■，那么犯錯誤的概率不超過k0對應的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得到有多大的把握認為兩個分類變量有關.endprint

破解 首先將2×2列聯表補充完整，如下表：

■

（1）由表中清晰地得出調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區老年人中，需要志愿者幫助的老年人的比例的估算值為■=14%.

（2）由所給隨機變量K2公式求出觀測值k=■≈9.967，由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區的老年人是否需要幫助與性別有關.

變式練習

1. 已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數■=3，■=3.5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是（ ）

A. ■=0.4x+2.3？搖 B. ■=2x-2.4

C. ■=-2x+9.5？搖 D. ■=-0.3x+4.4

2. 設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為■=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是（ ）

A. y與x具有正的線性相關關系

B. 回歸直線過樣本點的中心（■，■）

C. 若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg？搖

D. 若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg

3. 下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（單位：噸）與相應的生產能耗y（單位：噸標準煤）的幾組對照數據：

■

（1）請畫出上表數據的散點圖；

（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程■=■x+■；

（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤. 試根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？

（參考數值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

4. “十一”期間，某城市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯表，下列結論正確的是（ ）

■

A. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤與性別有關”

B. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤與性別無關”

C. 有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤與性別有關”

D. 有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤與性別無關”

5. 為考察高中生的性別與是否喜歡數學課程之間的關系，在我市某普通中學高中生中隨機抽取200名學生，得到如下2×2列聯表：

■

根據獨立性檢驗的基本思想，約有多大的把握認為“性別與喜歡數學課之間有關系”？

附表：

■

■

K2=■.

參考答案

1. A 2. D

3. （1）圖略；

（2）■xiyi=66.5，■=■=4.5，■=■=3.5，■x2i=32+42+52+62=86，■=■=■=0.7，■=■-■■=3.5-0.7×4.5=0.35. 故線性回歸方程為■=0.7x+0.35.

（3）根據回歸方程的預測，現在生產100噸產品消耗的標準煤的數量為0.7×100+0.35=70.35，故耗能減少了90-70.35=19.65（噸標準煤）.

4. C

5. 由所給隨機變量K2公式求出觀測值k=■≈6.061>5.024，所以約有97.5%的把握認為“性別與喜歡數學課之間有關系”.endprint