離散型隨機變量及其分布列、期望與方差

許仲

離散型隨機變量及其分布列、數學期望與方差這塊知識是所有省份高考必考的內容，絕大多數省份的高考題以一個大題的形式出現. 主要內容包括：隨機變量及其分布列、期望與方差的概念，用離散型隨機變量表示簡單事件，使用分布列計算事件概率，計算離散型隨機變量的期望與方差. 這部分的高考題目雖然閱讀量大，有一定難度，但只要細心分類歸納，耐心發現解決問題的方法和規律，把題目做好也不是難事.

重點難點

重點：求離散型隨機變量的分布列、期望與方差.

難點：求離散型隨機變量的分布列.

方法突破

認真閱讀，分析題目實際背景，明確古典概型概率的概念. 掌握由排列組合或列舉法等求古典概型概率的方法，掌握利用互斥事件或相互獨立事件求概率的方法. 通過理解題目，會寫出離散型隨機變量的分布列，并利用期望與方差的公式或性質求出結果. 熟練掌握幾種特殊的分布列.

典例精講

考點1 離散型隨機變量分布列的性質

■例1 設隨機變量X的概率分布如下表所示，F（x）=P（X≤x），則當x的取值范圍是[1，2）時，F（x）等于（ ）

■

A. ■？搖？搖？搖B. ■？搖？搖？搖？搖C. ■？搖？搖？搖？搖D. ■

思索 分布列性質的兩個作用：①利用分布列中的各個事件的概率之和為1可以求參數的值；②隨機變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率.

破解 根據性質可得a=■. 因為F（x）=P（X≤x），所以當x的取值范圍是[1，2），F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=■+■=■. 選D.

考點2 離散型隨機變量的分布列

■例2 一個均勻的正四面體的四個面上分別標有1，2，3，4四個數字，現在隨機投擲兩次，正四面體的面朝下的數字分別為x1，x2，記ξ=（x1-3）2+（x2-3）2.

（1）分別求出ξ取最大值和最小值的概率；

（2）求ξ的分布列.

思索 求隨機變量分布列的三個步驟：①找：找出隨機變量ξ的所有可能取值xi（i=1，2…，n），并確定ξ=xi的意義；②求：借助概率有關知識求出隨機變量ξ取每一個值的概率P（ξ=xi）=pi（i=1，2，…，n）；③列：列出表格并檢驗是否滿足分布列的兩條性質.

破解 由于xi∈{1，2，3，4}，所以xi-3∈{-2，-1，0，1}，即（xi-3）2∈{0，1，4}，所以ξ∈{0，1，2，4，5，8}，它的分布列如下：

■

考點3 離散型隨機變量的均值與方差

■例3 （2014年高考福建卷）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：

（i）顧客所獲的獎勵額為60元的概率；

（ii）顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望.

（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成. 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

思索 求離散型隨機變量的均值與方差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ的可能的全部值；②求ξ取每一個值的概率；③寫出ξ的分布列；④由均值的定義求E（ξ）；⑤由方差的定義求D（ξ）.

破解 （1）設顧客所獲的獎勵額為X.

（i）依題意，得P（X=60）=■=■，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為■.

（ii）依題意，得X的所有可能取值為20，60. P（X=60）=■，P（X=20）=■=■，即X的分布列為：

■

所以顧客所獲的獎勵額的期望為E（X）=20×0.5+60×0.5=40（元）.

（2）根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元. 所以，先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是（10，10，50，50），記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2.

以下是對兩個方案的分析：

對于方案1，即方案（10，10，50，50），設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為：

■

X1的期望為E（X1）=20×■+60×■+100×■=60，X1的方差為D（X1）=（20-60）2×■+（60-60）2×■+（100-60）2×■=■.

對于方案2，即方案（20，20，40，40），設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為：

■

X2的期望為E（X2）=40×■+60×■+80×■=60，X2的方差為D（X2）=（40-60）2×■+（60-60）2×■+（80-60）2×■=■.

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.endprint

■例4 （2014年高考四川卷） 一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分（即獲得-200分）.設每次擊鼓出現音樂的概率為■，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.

（1）設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列.

（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？

（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了. 請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.

思索 （1）D（X）表示隨機變量X對E（X）的平均偏離程度，D（X）越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D（X）越小，表明X越集中在E（X）附近，統計中常用■來描述X的分散程度.

（2）隨機變量的均值反映了隨機變量的取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.

破解 （1）X可能的取值為10，

20，100，-200.

根據題意，有P（X=10）=C13×■1×1-■2=■，P（X=20）=C23×■2×1-■1=■，P（X=100）=C33×■3×1-■0=■，P（X=-200）=C03×■0×1-■3=■. 所以X的分布列為：

■

（2）設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai（i=1，2，3），則P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=■. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為1-P（A1A2A3）=1-■3=■. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是■.

（3）由（1）知，X的數學期望為E（X）=10×■+20×■+100×■-200×■=-■. 這表明，獲得分數X的均值為負. 因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大.

變式練習

1. （2014年高考重慶卷）一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1，3張卡片上的數字是2，2張卡片上的數字是3. 從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；

（2）X表示所取3張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望.

2. （2014年高考江蘇卷）盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同.

（1）從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球的顏色相同的概率；

（2）從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數分別記為x1，x2，x3，隨機變量X表示x1，x2，x3中的最大數，求X的概率分布和數學期望E（X）.

3. （2014年高考山東卷）乒乓球臺面被網分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個不相交的區域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區域C，D. 某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球. 規定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分. 對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為■，在D上的概率為■；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為■，在D上的概率為■. 假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響. 求：

（1）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；

（2）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數學期望.

■

圖1

參考答案

1. （1）P=■=■.

（2）X的所有可能值為1，2，3，故X的分布列為：

■

E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

2. （1）由已知可得P=■=■=■.

（2）隨機變量X所有可能的取值為2，3，4. {X=4}表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球”，故P（X=4）=■=■；{X=3}表示的隨機事件是“取到的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球，或3個黃球和1個其他顏色的球”，故P（X=3）=■=■=■；于是P（X=2）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-■-■=■. 所以隨機變量X的概率分布如下：

■

E（X）=2×■+3×■+4×■=■.

3. （1）記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”（i=0，1，3），則P（A3）=■，P（A1）=■，P（A0）=1-■-■=■；記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”（i=0，1，3），則P（B3）=■，P（B1）=■，P（B0）=1-■-■=■. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”. 由題意，D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的獨立性和互斥性，P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）=■×■+■×■+■×■+■×■=■，所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為■.

（2）由題意，隨機變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6. 由事件的獨立性和互斥性，得隨機變量ξ的分布列為：

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所以數學期望E（ξ）=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■+6×■=■. ■endprint