事件與概率

趙銀倉

事件與概率是學習概率統計的基礎，內容主要包括隨機事件的概率、古典概型、幾何概型. 高考以選擇題或填空題考查幾何概型，在解答題中重點考查古典概型的計算，近年來把概率與統計結合命制解答題是高考考查的一個趨勢. 此部分知識主要考查對概率的理解、概率模型的應用與計算能力，試題難度為基礎題與中等題.

重點難點

重點：了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別；了解兩個互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率計算公式；了解幾何概型的意義及其概率計算公式；能解決簡單的實際應用問題.

難點：用古典概型和幾何概型解決應用問題，怎樣從實際問題中抽象出基本事件，將問題轉化為古典概型或幾何概型的計算問題.

方法突破

1. 隨機事件與隨機試驗

在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件叫做隨機事件，如果試驗的結果預先無法確定，這種試驗就是隨機試驗.

2. 頻率與概率

頻率隨試驗次數而改變，但概率是一個常數，當試驗次數越來越多時，頻率向概率靠近.

3. 互斥事件與對立事件的區別與聯系

互斥事件是不能同時發生的兩個事件，而對立事件是要求兩個事件不能同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況. 若事件A，B為互斥事件，它們至少有一個發生的事件為A+B，則P（A+B）=P（A）+P（B）；若事件A，B為對立事件，則P（A）=1-P（B）. 互斥事件不一是對立事件，但對立事件一定是互斥事件.

4. 幾何概型與古典概型的異同

幾何概型與古典概型是經常用到的兩種概率模型，二者的共同點是基本事件都是等可能事件；不同點是幾何概型的基本事件是無限的，古典概型的基本事件是有限的.

5. 逆向思考

當某事件的概率不易直接求解，但對立事件的概率易求解時，可運用對立事件的概率公式（若事件A，B為對立事件，則P（A）+P（B）=1）求解.

典例精講

■例1 （2014年高考廣東卷）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取7個不同的數，則這7個數的中位數是6的概率為________.

思索 題目給出的10個數中比6小的有6個，比6大的有3個，要使得所選出的7個數的中位數為6，則應該比6小的選3個，比6大的選3個，由此得出事件“7個數的中位數是6”的結果數，應用古典概型公式可得所求概率.

破解 從10個不同數中任取7個不同的數，共有C■■種不同的結果，每個結果都是等可能的. 事件“所選7個數的中位數是6”可從6之前的6個數中取3個，6之后3個數中取3個，所以含有C■■·C■■種不同的結果，因此其概率為P=■=■.

■例2 （2014年高考湖北卷）隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過5的概率記為P1，點數之和大于5的概率記為P2，點數之和為偶數的概率記為P3，則（ ）

A. P1

C. P1

思索 對于“擲兩枚質地均勻的骰子”這類問題，通過列表就能直觀地看出其全部基本事件，問題中的三個事件“點數之和不超過5”“點數之和大于5”“點數之和為偶數”中所含的基本事件就容易數出，利用古典概型公式即可分別求出它們的概率，再比較大小.

破解

■

依題意，P1=■，P2=1-P1=■，P3=■，所以P1

■例3 （2014年高考福建卷）如圖1，在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________.

■

圖1

思索 這是一個幾何概型問題. 利用定積分計算陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式求出所求概率.

破解 由題意，y=lnx與y=ex關于y=x對稱，所以陰影部分的面積為2■（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2. 因為邊長為e的正方形的面積為e2，所以落到陰影部分的概率為■.

■例4 （2014年高考陜西卷）某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：

■

（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

思索 由于抽樣的隨機性，所以樣本的數字特征可以代表總體的數字特征的估計值. 在本題中，用樣本中的某事件的頻率代表總體中該事件的概率估計值. 互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和.

破解 （1）設A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率可得P（A）=■=0.15，P（B）=■=0.12. 由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元，所以其概率為P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.

（2）設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，得樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100（輛），而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120=24（輛），所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為■=0.24. 由頻率估計概率得P（C）=0.24.

■例5 （2014年高考四川卷）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1，2，3，這三張卡片除標記的數字外完全相同. 隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a，b，c.

（1）求“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率.

思索 共有三張卡片，隨機有放回地抽取3次，則每次都有三種選擇，將所有結果一一列舉出來，共有27種不同的結果，每一種結果都是等可能的，所以所求兩個概率問題都為古典概型. （1）列舉出所有事件后，就能數出事件“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”中所包含的基本事件的個數，即得其概率；（2）因為事件“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”中包含的基本事件的數目較多，因此先求其對立事件“抽取的卡片上的數字a，b，c完全相同”中所含的基本事件的數目，由此得到其概率，再由“事件與其對立事件的概率和為1”這一關系，求得所求的結果.

破解 （1）由題意，（a，b，c）所有的可能為：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27種. 設“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”為事件A，則事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3種，所以P（A）=■=■. 因此，“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率為■.

（2）設“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件■包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種. 所以P（B）=1-P（■）=1-■=■. 因此，“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率為■.

■例6 （2014年高考全國卷） 設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6，0.5， 0.5，0.4，各人是否需使用設備相互獨立.

（1）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；

（2）實驗室計劃購買k臺設備供甲、乙、丙、丁使用. 若要求“同一工作日需使用設備的人數大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

思索 對于較復雜的概率問題，首先要對字母表示簡單事件，然后用事件間的關系來表示所求事件，再用有關概率公式進行計算. 這樣分析問題的思路會清晰明了.

破解 記Ai表示事件“同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設備，i=0，1，2”，B表示事件“甲需使用設備”，C表示事件“丁需使用設備”，D表示事件“同一工作日至少3人需使用設備”，E表示事件“同一工作日4人需使用設備”，F表示事件“同一工作日需使用設備的人數大于k”.

（1）因為P（B）=0.6，P（C）=0.4，P（Ai）=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P（D）=P（A1·B·C+A2·B+A2·■·C）=P（A1·B·C）+P（A2·B）+P（A2·■·C）=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（■）P（C）=0.31.

（2）由（1）知，若k=2，則P（F）=0.31>0.1，P（E）=P（B·C·A2）=P（B）P（C）P（A■）=0.06. 若k=3，則P（F）=0.06<0.1. 所以k的最小值為3.

變式練習

1. （2014年高考新課標卷Ⅰ）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖？搖B. ■？搖？搖 C. ■？搖？搖？搖D. ■

2. （2014年高考陜西卷）從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖B. ■？搖？搖？搖 C. ■？搖？搖？搖D. ■

3. （2014年高考遼寧卷）正方形的四個頂點A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）分別在拋物線y=-x2和y=x2上，如圖2所示. 若將—個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區域的概率是________.

■

圖2

4. （2014年高考湖北卷）由不等式x≤0，y≥0，y-x-2≤0確定的平面區域記為Ω1，由不等式x+y≤1，x+y≥-2確定的平面區域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

5. （2014年高考山東卷）海關對同時從A，B，C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區進口此種商品的數量（單位：件）如下表所示. 工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.

■

（1）求這6件樣品中來自A，B，C各地區商品的數量；

（2）若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區的概率.

6. （2014年高考天津卷）某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如下表：

■

現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）.

（1）用表中字母列舉出所有可能的結果；

（2）設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發生的概率.

參考答案

1. D 2. C

3. ■ 4. ■

5. （1）A，B，C三個地區的商品被選取的件數分別是1，3，2.

（2）設6件來自A，B，C三個地區的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個. 每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的. 記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個. 所以P（D）=■，即這2件商品來自相同地區的概率為■.

6. （1）從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種.

（2）選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為：{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種. 因此，事件M發生的概率P（M）=■=■. ■endprint