有關7m＋j型奇正整數不是完全數的一些命題

張四保

（喀什師范學院數學系，新疆喀什 844008）

有關7m＋j型奇正整數不是完全數的一些命題

張四保

（喀什師范學院數學系，新疆喀什 844008）

完全數；奇完全數；命題

0 引言

雖未解決是否存在奇完全數的問題，但有關奇完全數存在熱點問題：一，奇完全數的大小估計，其研究成果參考文獻［3－5］；二，奇完全數相異素因子大小估計與個數估計，其研究成果參考文獻［6－10］；三，特殊類型奇數是否是完全數問題，其研究成果參考文獻［11－14］.

1 主要結論

（1）當π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），則n不是完全數.

當π≡1（mod 7）時，顯然有πα≡1（mod 7）.

當π≡2（mod 7）時，有πα≡24k＋1（mod 7）.當k≡0（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當π≡3（mod 7）時，有πα≡34k＋1（mod 7）.當k≡0（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當k≡1（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當π≡4（mod 7）時，有πα≡44k＋1（mod 7）.當k≡0（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當π≡5（mod 7）時，有πα≡54k＋1（mod 7）.當k≡0（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當k≡1（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當π≡6（mod 7）時，有πα≡64k＋1≡6（mod 7）.

（1）當π≡3（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當π≡5（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當π≡6（mod 7）時，有πα≡6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

（2）π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而此時n不是完全數.

證畢.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），則n不是完全數.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數.

由命題1至命題3，可得到推論1.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數.

由命題1的討論可知，當π≡1（mod 7）時，有πα≡1（mod 7）；當π≡3（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7）；當π≡5（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7）；當π≡6（mod 7）時，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當π≡1，3，5，6（mod 7）時，πα取模7的情況與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡1（mod 3）時，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

證畢.

（1）當π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數.

由命題4至命題6，可得到推論2.

（1）當π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數.

由命題1的討論可知，當π≡1（mod 7）時，有πα≡1（mod 7）；當π≡2（mod 7）時，有πα≡1，2，4（mod 7）；當π≡4（mod 7）時，有πα≡1，2，4（mod 7）；當π≡6（mod 7）時，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當π≡1，2，4，6（mod 7）時，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡1（mod 3）時，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

證畢.

（1）當π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數.

（1）當π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數.

由命題7至命題9，可得到推論3.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數.

由命題1的討論可知，當π≡1（mod 7）時，有πα≡1（mod 7）；當π≡3（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7）；當π≡5（mod 7）時，有πα≡3，5，6（mod 7）；當π≡6（mod 7）時，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當π≡1，3，5，6（mod 7）時，πα取模7的情況與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3）時，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡1（mod 3）時，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3）時，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

證畢.

（1）當π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數.

（1）當π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數.

由命題10至命題12，可得到推論4.

（1）當π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數.

，若下列任一條件成立：

（1）當π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數.

（1）當π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數.

由命題1的討論可知，當π≡1（mod 7）時，有πα≡1（mod 7）；當π≡2，4（mod 7）時，有πα≡1，2，4（mod 7）；當π≡6（mod 7）時，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當π≡1，2，4，6（mod 7）時，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡1（mod 3）時，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3）時，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當k≡0（mod 3）時，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當k≡2（mod 3）時，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數.

證畢.

由命題13至命題15，可得到推論5.

2 結束語

（References）：

［1］ 蓋伊R K.數論中未解決的問題［M］.張明堯，譯，北京：科學出版社，2006：59.

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Zhang Sibao.Conditions on the positive odd numbers of the form 7 m－1are not perfect number［J］.Journal of Heilongjiang Univer－sity：Natural Science Edition，2014，31（4）：480－483.

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2015.01.016

O156

A

2095－4107（2015）01－0118－05

2014－10－03；編輯：關開澄

喀什師范學院校內一般課題（（14）2513）

張四保（1978－），男，碩士，副教授，主要從事數論方面的研究.

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