淺談線性代數的教學方法

常雁玲

摘要：線性代數作為高等數學中的一部分，是大學必須要學習的一門科目。那么如何調動學生們對線性代數的興趣，讓學生們主動并且積極的學習線性代數，對于一個從事教學工作的人員來說，有著極為重要的意義。豐富的教學手段，多年的執教經驗，以及遇到諸多問題后的種種反思對于高等數學教學來說都是極為重要的。本文主要總結了線性代數的幾種教學方法，涉及到教學中應注意的問題，以及一些行之有效的觀點和方法。

關鍵詞：線性代數；觀點；教學方式

引言：線性代數的應用，涉及的范圍十分廣泛，例如數學、物理學，亦或是其他技術學科之中，因此線性代數在各種代數分支中，可以說是占據著首要位置。而線性代數同樣是理工科大學各專業的基礎課，學習線性代數對于培養學生的邏輯推理能力、計算能力、抽象思維能力以及工程實踐中的具體應用能力有著不可忽視的作用。而線性代數這門學科，通常在大一大二年級設置，對于初學者來說，線性代數的困難，一度讓學生們感覺束手無策。那么，如何解決這一問題，如何調動學生們學習的樂趣，讓這門學科的成績提升上來，無疑成為了老師們教學的關鍵。

一、代數概念區分

（一）行列式和矩陣

行列式和矩陣，是解析線性代數的關鍵，而這二者之間，有著密切的聯系，卻又不能將其等同。那么，首先，要確定二者各自的定義，注意二者之間的符號差異，其具體表現在：

1.矩陣 ，行列式 。

2.表現形狀。

由此可見，行列式的行數與列數必須相等，而矩陣的行數與列數可以相等。

3.意義差距。

矩陣是數的表格，而行列式則是一個數，亦可說是一個算式。

（二）行列式與矩陣計算方法的不同

線性代數涉及的計算內容，對于初學者來說，很難。甚至，很多同學覺得，面對計算時，有種無從下手的感覺。一般求解方程組的時候，有些同學生搬硬套，直接采取克拉默法則求解。如果同學們能夠清楚二者之間的差別，知道只有方陣才能有對應的行列式，不相等的矩陣無法用行列式進行計算的話，就不會出現這種錯誤。

二、針對行列式和矩陣的差別，采取對比教學法

線性代數中的行列式和矩陣容易混淆，其中涉及的概念以及數乘運算，是學生們最為困擾的一點。如何將它們區分開來，這是一個關鍵問題。這里采取對比的教學方法，可以加深同學們的印象，有著不錯的教學效果。

學生在學習行列式和矩陣初等變換后，容易將二者的符號弄混淆。尤其是二者符號書寫上面完全一致，但它們本質是不同的。例如行列式的運算表示的是數值運算，變換過程中用“=”連接，且前面會出現負號“-”。而矩陣變形過程中，不會出現負號“-”，也不會出現系數“ ”。

（一）矩陣、行列式的加法和數乘

矩陣的加法運算時，兩個同型矩陣相加是指它們的對應元素相加。行列式的某一列或是某一行兩數相加，也是對應元素相加。但區別是，矩陣中的每一個元素都是兩數之和時，此矩陣等于兩個矩陣的和。而行列式則是等于兩個行列式的和。至于數乘運算，二者的差別要更大一些。矩陣式只有公因子可以提到矩陣符號外，而行列式只需要滿足一行，或是一列的公因子，就可以提到符號外。

（二）矩陣的等價、相似、合同的充分必要條件

矩陣的等價性質分為三方面，分別是反身性、對稱性、傳遞性。兩個 矩陣 ， 等價的充要條件為：存在可逆的 階矩陣 與可逆的 階矩陣 ，使得 。

矩陣的相似關系：設 ， 均為數域 上 階可逆矩陣 ，矩陣 與 為相似矩陣（若 級可逆矩陣 為正交陣，則稱 與 為正交相似矩陣）。同樣的，矩陣的相似關系也有三個性質，分別是反身性、對稱性、傳遞性。

矩陣合同的性質：反身性，任意矩陣 都與自身合同；對稱性，如果 與 合同，那么 與 也合同；傳遞性，如果 與 合同， 又與 合同，，那么 與 合同；合同的兩矩陣有相同的二次型標準型；在數域 上，任意一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣；矩陣合同與數域有關。

三、善于發現和利用反例

線性代數中存在很多抽象的概念，如何將這些抽象的概念掌握，如何在初學時掌握一定的技巧，避免走入誤區，這一點，十分關鍵。如果能夠舉一些反例，相比較之下，就會加深學生對概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩陣運算的時候，可以告訴學生，矩陣乘法不滿足交換律。但這樣的強調，并不能引起學生們的注意。這時候，舉出一個反例，用錯誤的計算點醒學生，就會取得一個不錯的效果。

四、舉一反三，一題多解

一道題的正確解答方法不單單只有一個，那么發散學生的解題思路，開拓學生的視野，將所學知識有效的串聯起來，對于養成學生發散思維，有著重要影響。

例1：已知向量組 ， ， 線性無關， ， ， ，證明：向量組 ， ， 也線性無關。

證法1：設有 ， ， ，使得 ，

即 ，

故方程組只有當 成立，所以向量組線性無關。

證法2：采用行列式，由題意得 ，可記作 ，其中 的絕對值不為0，所以 可逆，又因 ， ， 線性無關，故有 ，所以向量組線性無關。

五、注意各章節之間的聯系

線性代數之間的聯系十分密切，每一章節的聯系對于學生們接下來的學習有著承上啟下的影響。所以，在教學時，每一個章節內容要求學生掌握的同時，也要延伸到這一章節對接下來學習的影響，為接下來的學習打好提前量。

六、結束語

綜上所述，線性代數作為高等數學中的重要組成部分，雖然內容并不是很多，但卻有著十分重要的作用。如何學好這一科，對于學生日后的學習有著深遠的影響。所以，在今后的教學中，要根據這門學科本身的特點，制定正確的教學方法，提升學生學習線性代數的興趣，從而提升學生學習這一學科的諸多難題。

參考文獻

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