常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的有效運(yùn)用研究

王復(fù)友

【摘要】常微分方程是17世紀(jì)隨著微積分發(fā)展起來的一種研究連續(xù)量變化的工具和解決很多實(shí)際問題與數(shù)學(xué)直接的橋梁的應(yīng)用學(xué)科。牛頓證實(shí)地球公轉(zhuǎn)的軌道是橢圓形的就是通過對(duì)常微分方程進(jìn)行求解得出的。海王星的發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家在解開常微分方程得出的結(jié)論，事實(shí)上確實(shí)是通過這樣發(fā)現(xiàn)了海王星的存在。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）04-0171-01

一、數(shù)學(xué)模型的概念

所謂的數(shù)學(xué)模型就是通過對(duì)數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用從而把實(shí)際問題和理論知識(shí)相結(jié)合，并且解釋具體的現(xiàn)象和情況對(duì)未來的事物發(fā)展方向進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而進(jìn)行控制優(yōu)化，以便更好的指導(dǎo)社會(huì)生活發(fā)展等。數(shù)學(xué)建模的基本流程就是：實(shí)際問題建模構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；然后對(duì)數(shù)學(xué)模型運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)處理；得到處理后的數(shù)學(xué)模型的解；通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的解加以闡述和解釋來得出實(shí)際問題的解；最后通過實(shí)際問題的解回歸到實(shí)際問題中加以預(yù)測(cè)或者解決問題。所以，數(shù)學(xué)模型其實(shí)就是通過數(shù)學(xué)工具或者數(shù)學(xué)語言對(duì)實(shí)際問題的一個(gè)概況描述。主要目的就是為了解決實(shí)際問題。

二、數(shù)學(xué)建模的方法

第一步準(zhǔn)備模型，首先是對(duì)想要建模的實(shí)際問題進(jìn)行了解，確定建模目的，弄清建模的內(nèi)容方向，然后通過計(jì)算機(jī)或者在圖書館查閱相關(guān)信息，然后對(duì)問題進(jìn)行總結(jié)分析，進(jìn)行深入研究調(diào)查。

第二步是通過對(duì)模型的深入調(diào)查研究以后，對(duì)問題進(jìn)行化繁為簡(jiǎn)，抓住問題的主要因素，把次要的不影響大的結(jié)果的因素忽略簡(jiǎn)化，進(jìn)而對(duì)模型提出假設(shè)構(gòu)想，然后不斷的進(jìn)行修改和完善。

第三步是在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇正確的合理的科學(xué)的數(shù)學(xué)工具對(duì)實(shí)際問題的變量進(jìn)行描述，要注意分清變量的類型，正確選擇合適的數(shù)學(xué)工具建立微分方程。要盡可能的把握問題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化掉多余的信息，進(jìn)行嚴(yán)密周祥的推理，同時(shí)要保證思路清晰、明了盡量提高準(zhǔn)確性，科學(xué)性。

第四步是在上面的基礎(chǔ)上，運(yùn)用對(duì)微分方程的求解來解釋具體問題。

第五步是在得到模型的解以后，對(duì)它進(jìn)行分析檢驗(yàn)，然后與實(shí)際情況結(jié)合比較，如果結(jié)果誤差小，說明模型是成功的，反之要對(duì)模型進(jìn)行修改再重復(fù)上面的步驟，一直到正確的模型得到正確的解。

最后是把上面得到的模型的解，運(yùn)用到實(shí)際問題中，進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。一般情況下，建模可以對(duì)事物發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，而預(yù)測(cè)可以為決策者決策控制提供有效的信息。

四、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用

上文已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模的過程進(jìn)行了簡(jiǎn)單概述，以及模型的分類。現(xiàn)在以實(shí)際實(shí)例來說明常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的實(shí)際應(yīng)用。

人們?nèi)粘Ｉ钪型獬鰰r(shí)難免碰到下雨卻沒有帶傘的情況，怎么樣才能少淋雨是一個(gè)問題。我們就怎么減少淋雨程度進(jìn)行研究。

模型假設(shè)：通過描述可以知道主要因素有：雨的大小，方向以及人走路的路程和速度。為了建立模型我們提出這樣的假設(shè)：1把人當(dāng)做長(zhǎng)方體，頂，側(cè)、前的面積比是b：a：1；雨中某地直線距離d，風(fēng)速和雨速都不變，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系（V，0，0），設(shè)雨速（ux，uy，uz）：

在上述假設(shè)下，由高等數(shù)學(xué)中曲面積分的通量概念，顯然，單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量正比于

3.當(dāng)ux=c及ux>0，分別為式（2.1）和式（2.2）的特例。

綜上所述，當(dāng)ux>c>0時(shí)，只要v=ux就可使前后不淋雨，從而總雨量最小。

除此之外都應(yīng)盡可能的使v最大，所以只有跑得快，才會(huì)淋雨少。

五、結(jié)束語

綜上所述，常微分方程在數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用是一個(gè)長(zhǎng)期細(xì)致系統(tǒng)性的工程，通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。在今后的教學(xué)中，應(yīng)該在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)建模和常微分的結(jié)合使用進(jìn)行深入探究，更好的引入常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的運(yùn)用，以便提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]韋程?hào)|，高揚(yáng)，陳志強(qiáng)等.在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（20）：228-233.