基于自適應混合能量參數的變步長LMS水聲信道均衡算法

寧小玲，張林森，劉志坤

（1.海軍工程大學電子工程學院，湖北武漢430033；2.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033）

基于自適應混合能量參數的變步長LMS水聲信道均衡算法

寧小玲1，張林森2，劉志坤1

（1.海軍工程大學電子工程學院，湖北武漢430033；2.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033）

提出了一種新的變步長算法，并將該算法用于水聲信道均衡。該算法克服改進歸一化最小均方（developed normanized least mean square，XENLMS）算法依賴固定能量參數λ的局限性，遵循變步長算法的步長調整原則在XENLMS算法的基礎上引入一個自適應混合能量參數λk，改善算法收斂速度和魯棒性。首先通過仿真分析變步長算法中的3個固定參數α，β，μ的取值范圍及對算法收斂性能的影響；并在兩種典型的水聲信道環境下，采用兩種調制信號對算法的收斂性能進行計算機仿真，結果顯示，新算法的收斂速度明顯快于XENLMS算法和已有的變步長算法，收斂性能接近遞歸最小二乘（recursive least square，RLS）算法的最優性能，但計算復雜度遠小于RLS算法。最后，木蘭湖試驗驗證了帶判決反饋均衡器（decision feedback equalization，DFE）結構的新算法具有較好的克服多徑效應和多普勒頻移補償的能力，相比LMS-DFE提高了一個數量級。

最小均方算法；變步長；收斂速度；穩態誤差；信道均衡；水聲通信

0 引 言

自適應均衡技術都可以有效地消除碼間干擾，補償信道的畸變，利用自適應均衡技術來提高水聲通信系統的傳輸速率和頻帶利用率，己經成為現階段水聲通信系統的特征之一［1］。最小均方（least mean square，LMS）算法因其低的計算復雜度、在平穩環境中的收斂性及易于硬件實現等主要特征，是自適應濾波理論中應用最廣泛的算法，并在相干水聲通信中被普遍應用［2］：文獻［3］提出了一種基于判決反饋結構的LMS算法，并通過水池試驗檢驗了算法的收斂性能。文獻［4］提出了一種改進的歸一化LMS算法（generalized normalized gradient descent regularization normanized LMS，GNGD-NLMS），提高了跟蹤信道的能力。但LMS算法對步長非常敏感，為了克服這個問題，文獻［5］將快速自優化LMS分集合并算法（fast self-optimized LMS diversity combiner，FOLMSDC）、快速自優化LMS算法（fast self-optimized LMS，FOLMS）和快速自優化LMS相位補償算法（fast self-optimized LMS phase compensation，FOLMSPC）有機地結合在一起，按照最小化均方誤差準則調節各部分的系數，從而實現均衡器性能的全局最優。由于高速水聲通信時的信道響應較長，水聲信道呈現出稀疏性，針對這個問題，文獻［6］采用了基于LMS算法的稀疏迭代方法，有效降低了計算量。文獻［7］提出了一種對濾波器輸入向量X（k）和誤差e（k）進行歸一化的LMS算法（developed normanized least mean square，XENLMS），該算法在水聲信道環境下具有非常快的收斂速度。文獻［8］提出了改進的系數比例稀疏信道自適應算法，并將改進的系數比例歸一化LMS算法（improved proportionate normalized LMS，IPNLMS）、改進的比例仿射投影算法（improved proportionate affine projection algorithm，IPAPA）、NLMS算法以及RLS算法進比較，將這幾種算法用于水聲信道估計和均衡。

LMS算法的優勢是顯而易見的，但是收斂速度慢，收斂速度與自適應步長和穩態失調之間存在矛盾。為克服這一缺點，多種不同的改進方法得到研究，這些方法性能的提高大部分是通過改變步長實現的［915］。為了進一步優化算法，提高收斂速度，本文提出了一種基于自適應混合能量參數的變步長LMS水聲信道均衡算法，并分別從仿真分析和湖泊實驗對算法的性能進行驗證。

1 新的變步長LMS算法

LMS算法因其低的計算復雜度、在平穩環境中的收斂性以及易于硬件實現等主要特征，目前是自適應濾波理論中應用最廣泛的算法。圖1是LMS用于自適應均衡的基帶模型。

圖1 自適應均衡算法的基帶模型圖

圖中，s（k）是信源發送的均值為零的獨立同分布基帶時域信號，h（k）是基帶水聲信道沖激響應，n（k）是高斯噪聲，濾波器輸入信號x（k）＝h（k）?s（k）+n（k），文獻［7］對濾波器輸入向量X（k）和誤差e（k）進行歸一化得到XENLMS算法，權值迭代方程為

式中，W（k）＝［w0（k） w1（k） … wN－1（k）］T是濾波器權值向量；X（k）＝［x（k） x（k－1） … x（k－N+1）］T是濾波器輸入向量，N是均衡濾波器的長度；λ是混合能量參數；‖X（k）‖2表示濾波器輸入向量X（k）歐幾里得范數的平方，計算公式為‖X（k）‖2＝XT（k）X（k）；?s（k）代表量化判決器Qu的輸出。

在式（1）中，XENLMS算法被輸入信號能量和誤差信號能量歸一化，有效地改善了穩定性和收斂速度。但是，混合能量參數λ需要在收斂速度和低穩態誤差之間折中選取，而且XENLMS算法通過一個固定的混合能量參數進行權值迭代，算法的性能依賴這個混合參數的選擇。

因此，為了有效地改善收斂性能，需要引進一個自適應變化的混合能量參數λk，使算法在初始收斂階段能夠選擇較大的步長，以達到快速收斂；隨著權向量接近最優解，能夠逐步減小步長以保證進一步收斂，從而減小穩態誤差。這種變化的混合能量參數使XENLMS算法克服了自適應穩態階段步長調整過程中的不足，具有快速收斂性能和良好的魯棒性。

首先，對誤差量的前后時刻采樣進行相關，其更新方程為

式中，e（k）e（k－1）確定W（k）與最優權值的距離；β是一個常數；pk由λk的過去兩個采樣加權和進行更新，即

式中，α是一個常數，這樣可以更加靈活地得到控制ηk的遞歸曲線。e（k）和e（k－1）之間的自相關估計被用作控制混合能量參數λk，即

這樣，通過引進自適應變步長的混合能量參數λk，得到的變步長LMS算法（variable step size XENLMS，VSS-XENLMS）的權值迭代方程為

算法中測量誤差為

式中，d（k）是理想輸出。

濾波器輸出為

2 算法性能比較與分析

2.1 新算法的收斂性能分析

論文提出的新算法中關于步長的迭代有3個常數α、β、μ，將α和β分為一組，變化α、β與μ這兩組參數，并分析其變化對算法收斂性能的影響。

仿真初始條件：信噪比為20 dB，四相相移鍵控（quadrature phase shift keying，QPSK）調制信號，水聲信道模型采用典型的帶相位旋轉的稀疏兩徑水聲信道h1＝［e－0.7j，0，0，e－1.8j］［16］，各均衡器抽頭個數取M＝32。

（1）變化μ初始值。取α＝β＝0.2，當μ的值分別取μ1＝0.02，μ2＝0.08，μ3＝0.2，μ4＝0.5時，本文算法均方誤差曲線的變化趨勢如圖2（a）所示，從圖2（a）可以看出，新算法的收斂速度隨步長μ逐步增大而逐漸增快，且變化明顯。當收斂穩定時，算法的穩定誤差均在－15 dB左右。

圖2 本文算法均方誤差曲線的變化趨勢

（2）變化α和β初始值。分別取大步長μ＝0.2和小步長μ＝0.02，當α和β的值分別取α1＝β1＝0.05，α2＝β2＝0.3，α3＝β3＝0.5時，得到的均方誤差收斂曲線如圖2（b）所示。可以看出，當取兩個相差比較大的步長μ時，改變α和β值，收斂曲線的變化趨勢是相同的：隨著α和β逐步增大，算法的收斂速度逐漸增快。且仿真過程中發現，當步長α和β初始值超過0.5時，算法收斂不穩定。所以，在本文的仿真條件下，β最佳值為0.5。

（3）經過仿真發現，滿足當步長α和β初始值超過0.5時，μ的取值范圍為μ∈（0，1］。

2.2 與XENLMS和RLS算法的比較

即使在輸入信號相關矩陣的特征值擴展比較大的情況下，RLS算法都能實現快速收斂，但其實現是以增加計算復雜度和穩定性問題為代價。由于XENLMS算法對輸入信號能量和誤差信號能量歸一化，有效地改善了穩定性和收斂速度，所以，本文對RLS、XENLMS以及本文提出的VSS-XENLMS 3種算法比較其收斂性能。

仿真初始條件：信噪比為20 dB，調制信號分別采用QPSK和16進制的正交振幅調制（16 quadrature amplitude modulation，16QAM）信號，采用2種水聲信道模型，信道1為h1＝［e－0.7j，0，0，e－1.8j］，均衡器抽頭個數取M＝32，信道2為稀疏多徑信道H2（z）＝1－0.5z－14+0.4z－18［7］，相比信道1復雜，均衡器抽頭個數取M＝82。

仿真中各算法的參數選取：

XENLMS算法：μ＝0.5，λ＝0.05；

VSS-XENLMS算法：μ＝0.5，α3＝0.3，β3＝0.3；

RLS算法：指數加權因子ω＝1（最優因子），取此參數時RLS算法具有最優性能。

仿真結果如圖3所示。

圖3 兩種調制方式下的3種算法的收斂曲線比較

從圖3（a）可知，在信道1和QPSK調制的仿真條件下，XENLMS算法的收斂速度慢于VSS-XENLMS算法，約慢100次迭代，收斂后的穩態誤差相差無幾；VSS-XENLMS算法相比RLS算法在初始收斂和收斂穩定后的收斂速度都相差不大，但收斂初始階段，RLS算法由于遞歸計算積累，對舍入誤差非常敏感，而VSS-XENLMS算法的收斂曲線平滑，收斂后VSS-XENLMS算法的穩態誤差約高出1 dB。圖3（b）與圖3（a）相比，3種算法的收斂趨勢完全相同，變化的是在使用16QAM調制信號初始條件下，收斂穩定后各算法的穩態誤差與使用QPSK調制信號時得到的穩態誤差相比增大了約4 dB。

水聲信道模型由信道1變為信道2，圖3（c）中3種算法的收斂曲線與圖3（a）相比有所變化：XENLMS算法、VSS-XENLMS算法及RLS算法的收斂速度依次增強，VSS-XENLMS算法收斂速度快于XENLMS算法，大約快300次迭代，收斂后的穩態誤差相差無幾；RLS算法與VSS-XENLMS算法差不多同時收斂穩定（相差約100次迭代），收斂后的穩態誤差相差無幾。同樣，由于信道環境改變，圖3（d）與圖3（b）之間的差異與圖3（c）和圖3（a）相近，圖3（d）與圖3（b）收斂后的穩態誤差相差約6 dB。

由以上比較可得出，分別在兩種調制信號和復雜度不同的水聲信道環境下，VSS-XENLMS算法依然保持和RLS算法的性能相當，但VSS-XENLMS算法的計算復雜度遠小于RLS算法，綜合各種因素，VSS-XENLMS算法是一種理想的自適應濾波均衡算法。

2.3 與其他變步長算法的比較

文獻［12］基于文獻［17］給出了一種新的基于Sigmoid函數的變步長LMS算法，改善了算法的收斂性能，并減小了計算量。文獻［13］也給出了相應的改進變步長算法，改善了算法性能。文獻［14］提出了以改進雙曲正切函數為變步長的LMS算法，在相同的實驗條件下優于以上算法。本文將文獻［14］的變步長和XENLMS算法相結合，其權值迭代函數為

基于文獻［14］的變步長XENLMS算法的仿真參數采用文獻［14］的最優參數：β＝0.2，α＝80，h＝2 000，為了合理比較，本論文新算法的參數μ與文獻［14］中相應的參數β相同：μ＝0.2（從圖2看出非最優參數），得到的收斂性能曲線如圖4所示。

圖4 本文算法（VSS-XENLMS）和基于文獻［14］的變步長XENLMS算法收斂曲線比較

由圖4（a）可以看出，兩算法最終的穩態誤差一致，約－16 dB；在開始收斂階段，兩者的收斂速度相差不大；接近穩定時，本論文算法收斂加快，到達穩定時，本論文算法相比基于文獻［14］的變步長XENLMS算法收斂速度快，約快400次迭代。由圖4（b）可以看出，兩算法最終的穩態誤差約－12 d B；在開始收斂階段，本論文算法的收斂速度明顯快于基于文獻［14］的變步長XENLMS算法；到達穩定時，本論文算法收斂速度快，約快300次迭代。圖4（c）和圖4（d）的收斂趨勢一致：到達收斂穩定時，兩算法的收斂速度差300次迭代。

可見，本論文算法在不同調制信號和不同信道環境的仿真條件下，性能均優于基于文獻［14］的變步長XENLMS算法，是一種快速收斂的自適應變步長均衡算法。

2.4 湖泊實驗

武漢木蘭湖的水聲實驗對以上的自適應均衡算法性能進行了檢驗，實驗布局如圖5所示。實驗當天下有小雨，風力較強，湖面波浪明顯，周圍環境較為安靜，發射端與接收端分別放置于水下6 m和5 m處，水平間距330 m，由于船體劇烈搖擺，帶動發射換能器和接收水聽器劇烈運動。

圖5 水聲通信實驗布局圖

實驗中采用判決反饋均衡器結構，Mi、Mb分別為前饋、反饋濾波器階數，Mi＝101，Mb＝50。實驗中各算法的參數如下：LMS-DFE：μi＝0.000 5，μb＝0.000 5； XENLMS-DFE算法：μi＝0.2，λ＝0.005，μb＝0.0015；文獻［14］的變步長XENLMS-DFE算法：β＝0.2，α＝80，h＝2 000；VSS-XENLMS-DFE：μ＝0.5，α＝0.3，β＝0.3。

在木蘭湖實地測得的時變水聲信道通信帶寬內（加窗處理，通帶范圍12.25～14.75 KHz）的功率譜（自動增益控制補償后的結果）如圖6所示。由圖6可見，在木蘭湖中，帶內功率譜發生明顯的起伏，水聲信道多徑效應是造成這種起伏的重要原因之一，對通信信號造成了很大干擾，這些都與實際實驗環境相符合。圖7為各種均衡算法的效果圖。

圖6 實驗環境下的帶內功率譜

從圖7可以看出，LMS-DFE、XENLMS-DFE、基于文獻［14］的XENLMS-DFE以及VSS-XENLMS-DFE各算法的星座圖逐漸清晰：LMS-DFE算法的性能較差，誤碼率為0.39%，星座圖較混亂；XENLMS-DFE算法誤碼率為0.16%，星座圖界限分明，清晰一些；基于文獻［14］的XENLMS-DFE算法誤碼率為0.081 25%，星座圖更加清晰；VSS-XENLMS-DFE算法誤碼率為0.031 2%，星座圖緊湊集中，界限分明，清晰很多，誤碼率相比LMS-DFE算法提高了一個數量級。

圖7 木蘭湖實驗——距離330 m（QPSK）

3 結 論

通過建立混合能量參數λ與誤差信號的另一種非線性函數關系：λk＝erf（ηk），ηk+1＝βηk+pk｜e（k）e（k－1）｜，pk＝α（λk+λk－1），提出了一種新的變步長自適應均衡算法。分析了參數α、β及μ對算法收斂性能的影響以及在本文的仿真環境下的取值范圍。在復雜度不同的調制信號和信道環境中，該算法均表現出較好的收斂性能，收斂速度快于XENLMS算法，與RLS收斂后的穩態誤差相同，收斂速度也相差甚微，且新算法的收斂性能比基于文獻［14］的變步長XENLMS算法要優越。最后，采用判決反饋均衡器結構進行了湖試試驗，比較了各算法的輸出星座和誤碼率，本論文的VSS-XENLMS-DFE算法相比LMS-DFE提高了一個數量級。

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Variable step size LMSequalization algorithm based on adaptive mixed-power parameter in underwater acoustic channels

NING Xiao-ling1，ZHANG Lin-sen2，LIU Zhi-kun1
（1.Electronics Engineering College，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

An improved novel variable step size least mean square（VSS-XENLMS）adaptive filtering algorithm is proposed and it is applied to underwater acoustic equalization.A variable mixed-power parameterλkis introduced whose the time variation allows the algorithm to follow fast changes in the channel.The proposed algorithm overcomes the dependency on the selection of the mixing parameterλ，which has been by developed normanized least mean square（XENLMS）algorithm.The selecting about three factorsα，βandμand their influences to convergence ability are analysed.Computer simulations of the proposed algorithm about convergence ability are carried out respectively under two underwater acoustic channels，using two modulation signals.Simulation results demonstrate that the convergence speed of the proposed algorithm compared with that of XENLMS algorithm and the former variable step-size algorithms has been visibly increased，the convergence performance of the proposed algorithm is compared to that of recursive least square（RLS），but its computation complexity is far less RLS.Then，Mulan Lake experiment shows that the performance of the decision feedback equalization（DFE）-based the proposed algorithm（VSS-XENLMS-DFE）is better than that of the LMS-DFE algorithm in terms of bit error rate for an order of magnitude，which overcomes the effects of multipath and Doppler shift very well.

least mean square（LMS）algorithm；variable step size；convergence speed；steady-state error；channel equalization；underwater acoustic communication

TN 929.3 文獻標志碼：A DOI：10.3969／j.issn.1001-506X.2015.09.28

寧小玲（1982-），女，講師，博士，主要研究方向為水下高速率數據通信、水聲信道估計與均衡。

E-mail：zhang＿ning1982b＠sina.com

張林森（1982-），男，講師，博士，主要研究方向為水下航行器推進控制技術研究。

E-mail：zhangk＠gmail.com.cn

劉志坤（1984-），男，講師，博士，主要研究方向為水下高速率數據通信、目標定位與跟蹤。

E-mail：bill1302lzk＠sina.com

1001-506X（2015）09-2141-07

2014-06-16；

2015-01-18；網絡優先出版日期：2015-04-03。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150403.1021.001.html

國家自然科學基金（61101205）；海軍工程大學自然科學基金資助項目（HGDQNJJ3024）資助課題