基于板理論的軸承剛度簡化模型

張執南，丁為民，馬會防

(1.上海交通大學 機械與動力工程學院, 上海 200240；2.上海凱泉泵業(集團)有限公司 技術中心，上海 201804)

在轉子-滾動軸承系統的力學仿真分析中，物理模型中的各種因素不可能都被考慮到，需要忽略一些因素。但是，哪些因素可忽略、忽略后有什么樣的影響，必須加以研究[1]。

從結構力學角度看，軸承可以從質量、剛度和阻尼3方面分析。軸承質量相對轉子等其他部件通常很小，可忽略；軸承阻尼在計算瞬態響應時較為重要，需要考慮，當阻尼較小時，在模態分析和撓度分析等計算分析中也可忽略；軸承剛度是軸承的主要特性，在轉子-軸承系統力學分析中一般都需要考慮[1-5]。在模態、撓度、瞬態響應和諧響應等分析中，軸承如果按照實體幾何尺寸建模，模型質量與實體非常接近，由于忽略游隙和油膜，加之滾動體與內外圈的接觸類型難以合理處理，導致軸承剛度與實際剛度相差較大。為解決這一問題，有些研究采用“彈簧單元”模擬軸承的剛度[6-8]；有的軟件提供“軸承約束”，直接輸入軸承的剛度與阻尼較為方便。在工程計算中經常采用三維模型[9]，如果用“彈簧單元”模擬軸承剛度，由于一維“彈簧單元”存在自由度耦合問題，解決方法之一是添加多個方向上的一維“彈簧單元”，但操作比較繁瑣，且不能完全解決自由度耦合問題。因此，有必要建立一種簡化的軸承剛度模型，既能準確模擬軸承剛度，也可以避開自由度耦合問題。

下文基于板理論，提出了約束軸對稱的有孔圓形薄板在徑向和軸向的等效剛度公式，分析了影響等效剛度的多種因素，采用圓形薄板構建了軸承剛度簡化模型。

1 模型構建

1.1 軸對稱有孔圓板的軸向變形

根據文獻[10]中圓形薄板軸對稱彎曲的相關知識，可得各種情況下薄板最大軸向位移的詳細表達式。當邊界約束方式確定時，軸對稱圓形薄板的最大軸向位移wmax是載荷(集中力F、均布力q或均布彎矩M)、結構參數(外半徑a、內半徑b、厚度h)和材料特性(泊松比ν、彈性模量E)的函數，最大軸向位移wmax與載荷成正比，與材料的彈性模量成反比。因此，圓形薄板最大軸向位移的3種通用表達形式為：

均布載荷作用條件下

集中力作用條件下

均布彎矩作用條件下

當有孔圓板的外圓柱面固定、內圓柱面與軸綁定時，其具備了軸向和徑向承載能力，載荷通過軸施加到內圓柱面上，如圖1a所示。因此，當以剛度為考察因素時，軸承可等效為軸對稱的有孔圓板。軸承的軸向剛度等效于有孔圓板的軸向剛度;軸承的徑向剛度等效于有孔圓板的徑向剛度。有孔圓板在載荷作用下產生的軸向變形和徑向變形相對于有孔圓板的尺寸十分微小，可忽略其對剛度的影響。

圖1 有孔圓板受載示意圖

(1)

1.2 軸向剛度求解模型

運用歸納總結的方法，設函數f(a,b,h,ν)=α，稱之為軸向變形參量，則軸向最大位移wmax與承受的載荷Fa以及材料彈性模量E的關系可以表示為

(2)

對比(1)，(2)式可知，當載荷作用形式和邊界約束條件確定時，軸向變形參量α僅取決于圓板的結構參數和材料的泊松比ν，當這2種因素不變時，α的值固定不變。換言之，僅改變材料的彈性模量、載荷的大小(不改變載荷的作用域、施加方式)，α的值不變。

可通過數值方法對該模型進行驗證。創建有限元模型，定義邊界約束方式和材料的彈性模量E，施加軸向載荷Fa，可求得最大軸向位移wmaw，代入(2)式即可求出該力學模型對應的α值。

根據Hooke定理k=F/x，可得出圓形薄板軸向剛度，F即作用在薄板上的軸向力Fa，x即最大軸向位移wmax，則圓形薄板軸向剛度Ka為

(3)

1.3 徑向剛度求解模型

通過歸納總結的方法得到(2)式，而對于徑向最大位移，由于缺少相關理論知識和研究，不能通過總結與歸納的方法得出。基于有孔圓板材料的線彈性性質和接觸面積恒定的特點，可假設徑向位移wr為

(4)

式中:β為徑向變形參量，僅取決于圓板的結構參數和材料的泊松比ν，當這2種因素不變時，β不變。換言之，僅改變材料的彈性模量、載荷的大小(不改變載荷的作用域、施加方式)，β不變。這一假設的正確性可由數值方法實例驗證。

同理，可得出圓形薄板徑向剛度Kr為

(5)

2 模型驗證

采用數值方法，以實例驗證所提出的簡化模型。以有孔圓板為計算模型，外徑D=40 mm，內徑d=20 mm，厚度h=1 mm，材料泊松比ν=0.3；僅考察軸承剛度，排除軸本身的變形對α,β計算結果的影響，因此將軸定義為解析剛體。有孔圓板的外圓柱面固定、內圓柱面與軸綁定，載荷通過軸施加于內圓柱面上；保持幾何模型和邊界條件不變。改變載荷、彈性模量的大小，根據有限元仿真得到最大軸向位移wmax和徑向位移wr，利用(2)式和(4)式求出軸向變形參量α和徑向變形參量β，以此驗證α和β不變。

2.1 軸向變形參量

改變施加載荷和彈性模量后，計算模型的軸向變形參量的結果對比見表1。由表1可知，模型2相對模型1得到的α相差約0.015%，可忽略。

表1 軸向變形參量的計算對比

2.2 徑向變形參量

改變施加載荷和彈性模量后，計算模型的徑向變形參量結果對比見表2。由表2可知，β的值也不隨載荷和彈性模量變化而變化。

表2 徑向變形參量的計算對比

2.3 圓板厚度的影響

在變形參量α和β的決定因素中，有孔圓板結構參數中的外半徑a受限于軸承座的孔徑，而內半徑b受限于軸徑，泊松比ν受限于材料的選擇，且變化范圍有限。為了獲取所需的軸向剛度和徑向剛度，只能通過改變有孔圓板的厚度h來得到相應的變形參量α和β。

仍采用有孔圓板為計算模型，其中外徑D=40 mm，內徑d=20 mm，ν=0.3保持不變，只改變厚度h的值，利用有限元仿真來計算不同厚度下結構的變形參量，計算結果見表3。

表3 不同厚度下的變形參量

3 應用流程與案例研究

文中所提出的軸承剛度簡化模型主要應用于轉子-軸承系統的模態分析和撓度分析等。

3.1 應用流程

首先，建立變形參量α和β的數據表(表3)。然后，構建如圖2a所示的計算模型和基于圖2b所示的計算流程圖，應用所提出的模型進行模態、撓度等的分析和計算。

圖2 計算模型與計算流程圖

最常用的邊界約束條件是圓板外圓柱面固定、內圓柱面與軸綁定，徑向載荷與軸向載荷可以施加在軸上，由接觸面傳遞給圓板，根據計算得最大位移結果，由(2)和(4)式計算出變形參量α和β，改變厚度h，可以計算對應的α和β。在計算α和β時，為減少軸本身的變形對計算結果的影響，需將軸定義為解析剛體。在進行轉子-軸承系統的撓度分析或模態分析時，需將軸定義為三維變形體。

其次，選擇板的厚度h。在力學分析中，如果主要考慮徑向剛度或者軸向剛度，可選用任意厚度下α和β，再根據(3)式或(5)式計算相應的彈性模量。如果同時考慮徑向剛度和軸向剛度，則根據二者的比值，選擇合適的厚度。

3.2 案例研究

3.2.1 計算案例

計算某型號水環真空泵轉子(圖3)的第1階彎曲模態，該泵采用雙列圓錐滾子軸承，軸承外徑D=210 mm，內徑d=130 mm。

圖3 某水環真空泵轉子系統3D模型

根據文獻[5]所提出的方法，計算出驅動端軸承徑向剛度為Kr1=1.188×109N/m，葉輪間軸承徑向剛度為Kr2=1.365×109N/m。采用建立的軸承剛度簡化模型，根據圖2所述計算方法，徑向變形參量β=10.56 m-1，驅動端軸承簡化模型彈性模量E1=βKr1=12.55 GPa，葉輪間軸承簡化模型彈性模量E2=βKr2=14.41 GPa。分別采用彈簧單元(方法1)和板理論模型(方法2)模擬軸承徑向剛度進行第1階彎曲模態分析，所得計算結果見表4。

表4 計算結果

3.2.2 結果分析

上述2種方法對一階模態頻率的計算結果相差絕對值僅為1 Hz，由此驗證了軸承簡化模型計算模態問題的準確性。

但是，該例沒有體現出方法2相對于方法1的優勢，當同時考慮軸向剛度和徑向剛度時，基于板理論的軸承剛度簡化模型的優勢主要表現在：兩端支承的轉子，需要至少定義6個彈簧單元，而軸承簡化模型只需要2個。

另外，當進行撓度分析時，由于一維單元與三維實體存在一定的自由度耦合問題，容易導致變形方向出現在耦合剛度較弱的方向，從而偏離真實變形方向，影響結果的準確性，而基于板理論的軸承剛度簡化模型則可以避免單元自由度耦合帶來的問題。例如，求加速度作用下的位移變形計算，載荷如圖4所示。

圖4 加速度作用下的位移計算

采用彈簧單元(方法1)和板理論模型(方法2)模擬軸承，所得結算結果分別如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可知，采用方法1，最大位移方向(2.868 9 mm)為圓周向，顯然不符合實際情況。采用方法2，在同等工況下，最大位移(0.053 384 mm)方向為合加速度的方向，與工程實際情況比較符合。

圖5 采用彈簧單元加速度作用下的位移計算結果

圖6 采用軸承剛度簡化模型的位移計算結果

4 結束語

(1)提出了有孔圓板的軸向和徑向變形參量的概念及公式，并分析了影響變形參量的因素，包括有孔圓板的結構參數(外半徑、內半徑、厚度)、材料的泊松比。

(2)采用數值方法實例驗證了關于軸向和徑向變形參量的相關結論。

(3)建立了軸承剛度簡化模型的應用流程，通過實例驗證了基于板理論的軸承剛度簡化模型適合在模態、撓度等分析類型中應用，具有一定的工程應用價值。

所提出的軸承剛度簡化模型相對于彈簧單元而言，既能準確模擬軸承的剛度，也可以避開自由度耦合問題，但需根據軸承的實際剛度來調整模型厚度和材料特性，而軸承的實際剛度受載荷、轉速等因素的影響，且變化是非線性的，因此該模型更適用于模擬軸承剛度恒定或變化很小的情況。關于本模型更廣泛的應用以及在應用中發現的不足及改進，將來可做更深入的研究和探討。