離散模糊自適應(yīng)滑模控制在磁軸承中的應(yīng)用

孫冬梅，徐海鵬，范文，熊鑫，曾理

(南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，南京 211816)

主動(dòng)磁軸承與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比具有無(wú)磨損和無(wú)需潤(rùn)滑等特性，因此，常用于磁懸浮飛輪儲(chǔ)能裝置等系統(tǒng)。

主動(dòng)磁軸承的轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)存在一定的不平衡量。滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)外界擾動(dòng)具有良好的自適應(yīng)性，因此，在主動(dòng)磁軸承中得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]研究了滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)單自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)的非線性解決方案，但并沒(méi)有考慮系統(tǒng)中存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問(wèn)題對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[2]提出了滑模觀測(cè)器的概念，設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器和觀測(cè)器，用于磁懸浮軸承的跟蹤控制，仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)具有良好的實(shí)用性和魯棒穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了滑模觀測(cè)器用于觀測(cè)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的擾動(dòng)量，使用了基于PID控制的交叉解耦方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)和干擾量得到了有效的抑制，但設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的非線性主動(dòng)磁軸承系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)了用于補(bǔ)償磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的滑模控制器，仿真結(jié)果表明該控制器能夠補(bǔ)償磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性。

針對(duì)磁軸承-轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問(wèn)題，通過(guò)建立磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，提出了一種離散模糊自適應(yīng)滑模控制方案。

1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

以徑向4自由度主動(dòng)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對(duì)象[5]，假設(shè)：1)轉(zhuǎn)子為軸對(duì)稱剛性轉(zhuǎn)子；2)轉(zhuǎn)子的軸線與2個(gè)徑向軸承的中心連線在一條直線上；3)電磁鐵中的磁場(chǎng)是均勻分布的，磁性材料不呈現(xiàn)飽和特性；4)徑向4個(gè)自由度的參數(shù)和結(jié)構(gòu)完全一樣；5)忽略鐵芯材料的損耗。建立Oxyz廣義坐標(biāo)系，并且以轉(zhuǎn)子質(zhì)心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以兩徑向軸承中心連線為z軸。磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中，F(xiàn)lx，F(xiàn)rx分別為x軸左右兩端所受的電磁力；Fly，F(xiàn)ry分別為y軸左右兩端所受的電磁力；θx，θy分別為x軸和y軸方向上的角位移量；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度；a,b分別為磁軸承兩端位移傳感器到質(zhì)心的距離。

圖1 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m為磁軸承轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；Jp為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jr為赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；e為離心率；η為慣性軸與旋轉(zhuǎn)軸的夾角；px,py分別為x,y軸方向上的合力矩；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為磁軸承x，y，z軸方向上的合力；θ1,θ2為初始相位。

Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，px，py滿足如下關(guān)系式

Fx= Flx+Frx=kxx+kixu1,

Fy=Fly+Fry=kyx+kiyu2,

Fz=kzz+kizuz,

px=kx(a+b)2θx-kix(a+b)u3,

py=ky(a+b)2θx+kiy(a+b)u4,

式中：kx，ky，kz分別為磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x，y，z軸方向的位移剛度；kix，kiy，kiz分別為x，y，z軸方向的電流剛度；u1,u2,u3,u4,uz為電流控制量。

由(1)式可知系統(tǒng)的軸向解耦與徑向解耦，徑向的平動(dòng)解耦和徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)解耦，在引入交叉反饋的前提下，可以研究單自由度[6-7]。設(shè)初始相位角為零，以其中一個(gè)平動(dòng)自由度為例，對(duì)該平動(dòng)單自由度的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理可得

(2)

式中：ks，ki分別為系統(tǒng)的位移剛度和電流剛度；d(t)為不平衡擾動(dòng)量和非線性部分。為了方便設(shè)計(jì)控制算法，需將(2)式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程并離散化，則

(3)

由于(3)式滿足匹配條件[8]，將其轉(zhuǎn)化為

X(k+1)=AX(k)+B[U(k)+f(k)]，

(4)

式中：A，B為系數(shù)矩陣；U(k)為電壓矩陣函數(shù)；t0，i0，x0為初始值；τ為時(shí)間參數(shù)。

2 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制器

2.1 控制系統(tǒng)總體框圖

控制系統(tǒng)的總體框圖如圖2所示。滑模控制器的設(shè)計(jì)是基于離散控制率，將位移傳感器的輸出信號(hào)y=x作為非線性跟蹤微分器的輸入信號(hào)；用z1和z2分別代替x和dx；將滑模函數(shù)S及滑模函數(shù)的變化率dS作為模糊控制率的輸入量，滑模控制率的增益為模糊控制率輸出的絕對(duì)值FO。

圖2 控制系統(tǒng)總體框圖

2.2 模糊控制器設(shè)計(jì)

模糊控制器是經(jīng)過(guò)模糊推理得到輸出控制量的模糊取值。模糊控制器適用于非線性時(shí)變、滯后系統(tǒng)的控制，但其自身抖振會(huì)激勵(lì)起系統(tǒng)中的高頻抖振，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此，將模糊控制器與傳統(tǒng)的滑模控制器相結(jié)合，抑制滑模變結(jié)構(gòu)控制中固有的抖振問(wèn)題。

采用二維模糊控制器，模糊變量選擇符合正態(tài)分布的隸屬度函數(shù)。定義模糊集：NB=負(fù)大，ZO=零，PB=正大。定義模糊規(guī)則：If S is A and dS is B then FO is C。模糊規(guī)則表見(jiàn)表1。

表1 模糊控制規(guī)則表

2.3 滑模控制器設(shè)計(jì)

主要包括滑模函數(shù)設(shè)計(jì)和滑模控制律設(shè)計(jì)。由基于線性簡(jiǎn)約型的(3)式可設(shè)計(jì)切換函數(shù)為

S(k)=Se[R(k)-X(k)]，

(5)

式中：Se為待定的二維行向量；r(k)為給定參考信號(hào)；滑模面S(k)=0[2]。

離散形式趨近律為

S(k+1)=S(k)-εTsgn[S(k)]-qTS(k)，

(6)

式中：ε為滑模控制器的增益，取ε=FO(k)；T為采樣時(shí)間，T固定的情況下，ε反映滑模控制器抖振的程度；q為比例系數(shù)。

根據(jù)(4)～(6)式可得基于離散形式的控制律為

U(k)=(SeB)-1{SeR(k+1)-SeAX(k)-S(k)+

εTsgn[S(k)]+qTS(k)}-f(k)。

(7)

由于f(k)為未知量，取其估計(jì)值代替，則該基于離散形式的控制律才能在實(shí)際中使用，此處忽略不計(jì)。

2.4 二階離散非線性跟蹤微分器設(shè)計(jì)

由(7)式可知，滑模控制器需要全狀態(tài)信息，因此，二階離散非線性跟蹤微分器的輸入為位移傳感器得到的系統(tǒng)位移信號(hào)y，輸出為位移信號(hào)y的跟蹤輸出z1和跟蹤微分z2。再用z1和z2代替x和dx。

根據(jù)(4)式可得二階離散非線性跟蹤微分器的方程為

，(8)

式中：u(k)為第k時(shí)刻的輸入；r為跟蹤快慢參數(shù)；h為濾波效果參數(shù)。

fst函數(shù)的表達(dá)式為

δ=rh，δ0=δh;

式中：sat為標(biāo)準(zhǔn)向量飽和函數(shù)；a0，δ,δ0均為中間量，無(wú)實(shí)際含義。

3 仿真與討論

對(duì)某磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

仿真條件設(shè)置：條件1為采用模糊自適應(yīng)增益不含干擾f(k);條件2為采用模糊自適應(yīng)含干擾f(k);條件3為采用固定增益含干擾f(k)。

磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在3種條件下的質(zhì)心位移輸出如圖3所示，其中y1～y3分別對(duì)應(yīng)條件1～3。由圖可知，3條曲線收斂到0的時(shí)間基本均為0.08 s，說(shuō)明該控制系統(tǒng)響應(yīng)較快，且超調(diào)量較小，可有效抑制系統(tǒng)中存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自動(dòng)平衡。

圖3 系統(tǒng)質(zhì)心的位移輸出

系統(tǒng)在條件1和條件2下的控制電流(I1和I2)如圖4所示。由圖可知，二者所需的控制電流均較小，在0.05 s內(nèi)收斂到0，均有少許的電流起伏，但抖振量不明顯，都在精度允許范圍內(nèi)。

圖4 系統(tǒng)的控制電流

經(jīng)仿真表明,系統(tǒng)在條件1下的自適應(yīng)增益在2.93×10-17,且變化不大。系統(tǒng)在條件2和條件3下的控制電流(I2和I3)抖振如圖5所示。由圖可知，固定增益的抖振量非常大。

圖5 系統(tǒng)控制電流抖振

4 結(jié)論

提出的離散模糊自適應(yīng)滑模控制方法有效削弱了磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在的不平衡擾動(dòng)和非線性干擾，仿真證明，該控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性和自適應(yīng)性。此外，二階離散非線性跟蹤微分器解決了無(wú)法直接得到速度信號(hào)的問(wèn)題，為接下來(lái)的研究奠定了良好的基礎(chǔ)。