Langford 系統 Hopf 分岔分析

徐　璐,饒曉波（甘肅省蘭州交通大學數理與軟件工程學院,蘭州　730000）

Langford 系統 Hopf 分岔分析

徐璐,饒曉波
（甘肅省蘭州交通大學數理與軟件工程學院,蘭州730000）

摘要：該論文討論了在Langford系統中的Hopf分岔情況。根據Hopf分岔的定義求解系統的平衡點以及Hopf分岔點，并且通過直接求周期解法以及后繼函數判別法判斷了分岔點的類型。通過引入Lyapunov穩定性理論對本文的結論給予了理論支持，最后通過Matlab仿真證明了結論的正確性。

關鍵詞：Langford;Hopf分岔；平衡點；Lyapunov理論

1　引　言

分岔理論作為一種重要的數學方法，是分析非線性系統的有力工具。到目前為止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在許多領域得到了廣泛的應用。Hopf分岔是動力系統的一類重要的動態分岔.本文研究下列Langford系統的Hopf分岔：

（1）式中的μ為系統的實變參數，該系統具有很強的非線性動力學行為，豐富的分岔現象。

2　Hopf　分岔

以下列系統模型為例：

Hopf分岔是指方程（2）的雅克比矩陣的特征值中有一對復特征值，隨著分岔參數的變化，它們的實部由負變為正，且當μ=μ0時，滿足下列條件：

在非雙曲平衡點附近發生的分岔，其對應的失穩形式是周期性的振蕩發散失穩。

3　Hopf分岔分析

若用Φ(x,μ)來表示f(x,μ)和g(x,μ)，平衡點方程為:

Φ(x,μ)=(f(x,μ),g(x,μ))=0

那么滿足下列方程組的平衡點是方程（2）的Hopf分岔點：

方程（4）的第一式是平衡點方程，第二式表明在分岔點有一對共軛純虛特征值。

可得到對于任意μ，有平衡點(0,0,0)和(0,0,μ)。

在平衡點(0,0,μ)處，Jacobian矩陣為：

對應的特征值為λ1=-μ,λ2,3=μ-1±i。

根據直接求周期解法和后繼函數判別法可得到：當0<μ<1時，平衡點(0,0,μ)漸近穩定；當μ>1時，平衡點(0,0,μ)不穩定。

4　Matlab仿真

系統的分岔圖和Lyapunov指數圖：

5　結論

結論表明Langford系統確實具有豐富的動力學特征，在系統進入混沌之前，會先后經歷倍周期分岔、Hopf分岔、鞍結點分岔及其他分岔，致使系統最后進入混沌狀態.

參考文獻：

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