Langford 系統(tǒng) Hopf 分岔分析

徐　璐,饒曉波（甘肅省蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院,蘭州　730000）

Langford 系統(tǒng) Hopf 分岔分析

徐璐,饒曉波
（甘肅省蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院,蘭州730000）

摘要：該論文討論了在Langford系統(tǒng)中的Hopf分岔情況。根據(jù)Hopf分岔的定義求解系統(tǒng)的平衡點(diǎn)以及Hopf分岔點(diǎn)，并且通過直接求周期解法以及后繼函數(shù)判別法判斷了分岔點(diǎn)的類型。通過引入Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)本文的結(jié)論給予了理論支持，最后通過Matlab仿真證明了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：Langford;Hopf分岔；平衡點(diǎn)；Lyapunov理論

1　引　言

分岔理論作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，是分析非線性系統(tǒng)的有力工具。到目前為止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Hopf分岔是動(dòng)力系統(tǒng)的一類重要的動(dòng)態(tài)分岔.本文研究下列Langford系統(tǒng)的Hopf分岔：

（1）式中的μ為系統(tǒng)的實(shí)變參數(shù)，該系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，豐富的分岔現(xiàn)象。

2　Hopf　分岔

以下列系統(tǒng)模型為例：

Hopf分岔是指方程（2）的雅克比矩陣的特征值中有一對(duì)復(fù)特征值，隨著分岔參數(shù)的變化，它們的實(shí)部由負(fù)變?yōu)檎耶?dāng)μ=μ0時(shí)，滿足下列條件：

在非雙曲平衡點(diǎn)附近發(fā)生的分岔，其對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)形式是周期性的振蕩發(fā)散失穩(wěn)。

3　Hopf分岔分析

若用Φ(x,μ)來表示f(x,μ)和g(x,μ)，平衡點(diǎn)方程為:

Φ(x,μ)=(f(x,μ),g(x,μ))=0

那么滿足下列方程組的平衡點(diǎn)是方程（2）的Hopf分岔點(diǎn)：

方程（4）的第一式是平衡點(diǎn)方程，第二式表明在分岔點(diǎn)有一對(duì)共軛純虛特征值。

可得到對(duì)于任意μ，有平衡點(diǎn)(0,0,0)和(0,0,μ)。

在平衡點(diǎn)(0,0,μ)處，Jacobian矩陣為：

對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=-μ,λ2,3=μ-1±i。

根據(jù)直接求周期解法和后繼函數(shù)判別法可得到：當(dāng)0<μ<1時(shí)，平衡點(diǎn)(0,0,μ)漸近穩(wěn)定；當(dāng)μ>1時(shí)，平衡點(diǎn)(0,0,μ)不穩(wěn)定。

4　Matlab仿真

系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖：

5　結(jié)論

結(jié)論表明Langford系統(tǒng)確實(shí)具有豐富的動(dòng)力學(xué)特征，在系統(tǒng)進(jìn)入混沌之前，會(huì)先后經(jīng)歷倍周期分岔、Hopf分岔、鞍結(jié)點(diǎn)分岔及其他分岔，致使系統(tǒng)最后進(jìn)入混沌狀態(tài).

參考文獻(xiàn)：

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