一類多角形的內角和

邵雷雷

在平面圖形中，有一些由平面上分布的某些點每隔一個或幾個順次連接構成的圖形，由于類似星形，我們可以把它稱作N角星，這些N角星的內角和呈現非常有規律的變化。

以常見的五角星為例（如圖1）平面上分布的五個點A、B、C、D、E，從A點出發，每次隔一個點，按A-C-E-B-D-A的順序依次連接，形成了類似五角星的圖案，由于每次相隔一個點進行連接，我們稱之為第一類五角星，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數為第一類五角星的內角和。圖1中，∠AMN=∠B+∠D，∠ANM=∠E+∠C， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AMN+∠ANM+∠A=180°。所以，第一類五角星的內角和為180°。

第一類六角星（如圖2），是由兩個三角形組合而成的圖形，所以其內角和為180°×2=360°。

第一類七角星（如圖3），由平面內七個點按A-C-E-G-B-D-F-A順次連接，連接BF、CG，∠AMN=∠MFB+∠MBF，∠ANM=∠NGC+∠NCG，那么第一類七角星的內角和被分解為三個三角形△AMN、△GEC和△BDF的內角和之和，所以第一類七角星的內角和等于180°×3=540°。

第一類八角星（如圖4），是兩個四邊形組合而成的圖形，所以其內角和為360°×2 =720°。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

第一類九角星（如圖5），連接BH和CI，∠AMN=∠MHB+∠MBH，∠ANM=∠NIC+∠NCI，所以九角星的內角和可以分為兩個四邊形HFDB和IGEC，再加一個三角形△AMN的內角和之和，即為360°+360°+180°=900°。

第一類十角星（如圖6），是由兩個五邊形組合而成的圖形，其內角和為：540°×2=1080°。

綜上可知，第一類N角星（N≥5）的內角和有如下的規律：當N為奇數時，其內角和可以分為兩個邊形加上一個三角形，所以其內角和應為：

當N為偶數時，其為兩個邊數為的多邊形組成的，其內角和應為：（-2）×180°×2=（N-4）×180°。所以，第一類多邊形的內角和是（N-4）×180°，（N≥5）。

還有第二類N角星，在平面上分布的N個點，如果每隔兩個點連接為一條邊，構成的圖形我們可以稱為第二類N角星，第二類N角星的內角和有什么規律呢？

第二類多角星至少為7個角（如圖7），平面上分布的七個點，每次相隔兩個點，按照A-D-G-C-F-B-E-A的順序依次連接，得到的圖形為第二類七角星。連接BG、DE，易知 ? ?∠F+∠C=∠MGB+∠MBG，∠NGB+∠NBG= ∠NED+∠NDE，所以第二類七角星的內角和就轉化為△AED的內角和，為180°。

第二類八角星（如圖8），連接AH、ED，易知∠F+∠C=∠MHA+∠MAH，∠B+∠G=∠NED+∠NDE，所以第二類八角星的內角和轉化為四邊形AHED的內角和，應為360°。

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

第二類九角星（如圖9），是由三個三角形組合而成的圖形，所以其內角和應為180°×3=540°。

第二類十角星（如圖10），連結AB、ID、GF，易知∠MID+∠MDI=∠MAB+∠MBA， ? ? ?∠NID+∠NDI=∠NGF+∠NFG，所以第二類十角星的內角和被轉化為兩個四邊形AHEB和JGFC的內角和之和，所以其內角和應為360°×2=720°。

第二類十一角星（如圖11），連結BK、JC、ID、GF，易知∠MJC+∠MCJ=∠MKB+∠MBK，∠NID+∠NDI=∠NGF+∠NFG，第二類十角星的內角和被分為兩個四邊形KHEB和JGFC，以及一個△AID，其內角和為360°×2+180°=900°。

第二類十二角形（如圖12），是由三個四邊形組成的圖形，其內角和為360°×3=1080°。

綜上所述，第二類N角星（N≥7）的內角和可以推測滿足表達式：（N-6）×180°。