論高中階段如何用初等數學方法求特殊數列的前n項和

杜怡萱

摘要：數列在初等教學當中占據著重要地位，如實際生活中的分期付款、人口增長的統計以及物品的擺放等問題幾乎都會涉及到數列，特別是特殊數列的前n項求和問題，在經過初步演算之后，都可以運用基本數列的方法求算。本文列出了特殊數列前n項和的幾種解法。

關鍵詞：初等數學 ? 數列求和 ? 特殊數列

高考中數列求和的題目占據了一定的比例，尤其是特殊數列的前n項求和問題經常令學生感到困惑。目前中高考當中的數列求和問題已受到了教師和教研組的充分重視。文章參考了一些關于數列問題的研究成果，針對特殊數列前n項和的求法，試圖用初等數學方法進行計算，希望為教師和學生在日后的學習和工作中提供有益的參考。

一、初等數學中的數列概述

在初等數學中，數列求和問題是多種數學問題的契合點，與方程式、函數、不等式等有著密切的聯系。數列部分的內容涉及到很多方面，如整體代入、歸納類比、分類計算等方法和思想。在現實生活中，如分期付款、人口增長的統計以及物品的擺放等問題幾乎都會涉及到數列。數列在數學運算中屬一種特殊的函數，經過初等數學的運算，可以為日后高等數學的學習打下基礎。

在初等數學中，數列求和問題是其中的重要運算內容，教師可基于傳統的數學教法，對求和的方式進行分類和歸納總結。等比數列中的前n項求和公式蘊含著很多分類方法，本文主要圍繞等比數列和等差數列的基本公式，針對特殊數列前n項和的解題思路，導出相應的公式。但是在運算過程中還需要注意很多問題，比如在使用分解法時要進行項數抵消，哪些項應被消除，哪些項應被保留;項數被消除之后，所剩下的項數中，正數項和負數項的數量一定是相同的。所以在計算過程中一定要注意，不可以將項數漏寫。

二、用初等數學方法求特殊數列前n項和的幾種解題思路

（一）待定系數法

首先是一道例題，求數列的和。

下面是解題思路：

要想求得這個數列的和，用教材當中的等差數列和等比數列公式顯然無法得出。公式中，分母的次數明顯大于分子的次數，所以可將將其轉為部分公式：

設，即。進行對應項系數的比較可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通項當中，可得出：。

通過分析各項的特點可知，前項分式的后式以及后項分式中的前式是相反數，這樣公式的規律就可以看出來了，所以： 。

通過這種解法，求得特殊數列前n項和的思路大致為：首先求得數列通項的分式，然后使n=1，2，3……，將n代入到通項當中，得出各項的分式，最后數列前n項的和就可以得出來了。

（二）拆項法

拆項法是指將數列中的每一項分成兩項的差，分開之后的相鄰兩項就會消去，這樣分開計算，結果就只留下了首尾兩項，從而簡化算式得出最終結果。下面舉例說明：求此數列的和，

。

以下為解題思路：

當數列通項能夠分成兩項差的模式時，就可以使用拆分法，求得前n項的和。如果數列通項有如下特征，也可以通過拆分法進行運算求得前n項的和。

如通項，其中，的等差數列中的公差是d，那么就可以拆分成兩項之差。由此可知，利用拆項等式的方法可以將數列當中的每一項都拆分成兩項之差的形式，然后正負項彼此消除，就會很容易求得前n項的和。

（三）降次法

在對自然數的n次冪和公式進行推導的過程當中會用到降次法，也即是通過對自然數（n+1）次冪公式的利用對自然數的n次冪進行推導。

下面舉例說明：

求證。下面是證明思路：取n=1，2，3，4……，n，將此等式的兩邊進行相加可以得出：

以上就是降次法的解題思路。這種方法能夠將問題轉化為等差和等比數列或者已知數列，從而求得數列之和。

綜上所述，在高中階段用初等數學方法求特殊數列的前n項和是每個高中生應該具備的能力，同時也是靈活解題的重要手段之一。在既有的研究成果中，對于特殊數列前n項和的求解方法并沒有形成完善的研究體系，解決方法也過于籠統，高中生往往無法有效掌握求解手段，這在很大程度上降低了高中生的學習興趣及學習效果。為此，本文針對特殊數列前n項和的求法，列出了幾種解題思路，將問題轉化為了最終的等差數列和等比數列求和問題的運算，促使特殊數列前n項和的運算得到了切實解決。

參考文獻：

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